%I#16 2023年5月23日17:29:10

%S 1,1,2,1,10,9,1,32113,64,1,867861526625,121241821893224337，

%电话7776,149819167170332477807450066117649,11136801031266400，

%电话：65846151291070494922892097152,12542314928831339472899230245559437588676822515902243046721

%N三角形T（N，k）=[x^k]p（N，x），其中p（N、x）=（1/N）*（1-x）^（2*N）*Sum_{j>=0}二项式（N+j-1，j）*j^N*x^（j-1）。

%C n=m:q（x，n，m）=（1-x）^（n+m）*Sum_{j>=0}二项式（m+j-1，j）*j^n*x^（j-1）的推广。

%D Douglas C.Montgomery和Lynwood A.Johnson，预测和时间序列分析，MaGraw-Hill，纽约，1976年，第91页

%H G.C.Greubel，n的表格，n=1..1275的a（n）</a>

%F T（n，k）=[x^k]p（n，x），其中p（n、x）=（1/n）*（1-x）^（2*n）*Sum_{j>=0}二项式（n+j-1，j）*j^n*x^（j-1）。

%F和{k=1..n}T（n，k）=A006963（n）。

%F T（n，m）=和{k=1..m}二项式（n+k，k）*二项式*（-1）^（m-k）*Stirling2（n，k）*1/（n+k）（推测）。-_Michael D.Weiner，2020年7月1日

%F From _G.C.Greubel_，2023年5月23日：（开始）

%F T（n，k）=（1/n）*和{j=0..k-1}（-1）^（k+j+1）*二项式（2*n，k-j-1）*二项式（n+j，j+1）x（j+1）^n。

%F T（n，n）=A000169（n）。

%F T（n，n-1）=A176824（n）。（结束）

%e多项式p（n，x）的开头为：

%e（1，x）=1；

%ep（2，x）=1+2*x；

%ep（3，x）=1+10*x+9*x^2；

%e（4，x）=1+32*x+113*x^2+64*x^3；

%e（5，x）=1+86*x+786*x^2+1526*x*^3+625*x^4；

%e（6，x）=1+212*x+4182*x^2+18932*x^3+24337*x^4+7776*x^5；

%e三角形T（n，k）的开头为：

%e 1；

%e 1、2；

%e 1、10、9；

%e 1、32、113、64；

%e 1、86、786、1526、625；

%e 121241821893224337776；

%e 149819167170332477807450066117649；

%电子邮箱11136801031266400658461512910704949228922097152；

%tp[x_，n_]：=（（1-x）^（2*n）/n）*和[二项式[k+n-1，k]*k^n*x^（k-1），{k，0，无穷}]；

%t表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，12}]//展平

%t（*第二个程序*）

%tT[n_，k_]：=（1/n）*和[二项式[2*n，k-j]*二项式[n+j-1，j]*（-1）^（k+j）*j^n，{j，k}]；

%t表[t[n，k]，{n，12}，{k，n}]//扁平（*_G.C.格鲁贝尔，2023年5月23日*）

%o（岩浆）

%o A152260:=func<n，k|（&+[（-1）^（k+j）*二项式（2*n，k-j）*二项式（n+j-1，j）*j^n:j in[1..k]]）/n>；

%o[A152260（n，k）：k in[1..n]，n in[1..12]]；//_G.C.Greubel，2023年5月23日

%o（SageMath）

%o定义A152260（n，k）：返回（1/n）*总和（（-1）^（k+j）*二项式（2*n，k-j）*二项式（n+j-1，j）*j^n，用于范围（1，k+1）中的j）

%o压扁（[[A152260（n，k）代表范围（1，n+1）中的k]代表范围（1,13）中的n]）#_G.C.格鲁贝尔，2023年5月23日

%Y参考A000169、A006963、A123125、A176824。

%K nonn，表

%氧1,3

%A _Roger L.Bagula，2008年12月1日