%I#34 2022年11月11日18:34:18

%S 1,3,1,12,7,1,60,47,12,1360342119,18,1252027541175245,25,1，

%电话：2016024552121543135445,33,18144024128133938403697140742，

%电话：42，1181440025927201580508537628111769145601162,52,119958400

%N无符号3-第一类斯特林数。

%C有关此数组的签名版本，请参见A049458。第一类无符号3-Stirling数将集合{1,2，…，n}的置换计数为k个不相交的循环，限制元素1、2和3属于不同的循环。这是第一类无符号r-Stirling数的r=3的情况。对于其他情况，请参见abs（A008275）（r=1）、A143491（r=2）和A143493（r=4）。第二类相应的3-斯特林数见A143495。两种r-Stirling数的理论都是在[Broder]中发展起来的。有关相关3-Lah编号的详细信息，请参见A143498。

%C当偏移量n=0且k=0时，这是Sheffer三角形（1/（1-x）^3，-log（1-x））（在S.Roman书的本影符号中，这将被称为Shefferfor（exp（-3*t），1-exp（-t）））。参见下面给出的示例f。还可与签名版本A049458的示例f.进行比较_Wolfdieter Lang_，2011年10月10日

%C偏移量n=0且k=0：三角形T（n，k），按行读取，由（3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6，…）DELTA（1,0,1,0,1,2,0,1,0，…）给出，其中DELTA是A084938中定义的运算符_菲利普·德雷厄姆，2011年10月31日

%H Broder Andrei Z.，<a href=“https://doi.org/10.1016/012-365X（84）90161-4“>r-Stirling数，离散数学49，241-259（1984）

%H A.Dzhumadildaev和D.Yeliussizov，<A href=“http://arxiv.org/abs/1408.6764v1“>有向图的路径分解及其在Weyl代数中的应用</a>，arXiv预印本arXiv:1408.6764v12014。[第1版包含许多对OEIS的引用，这些引用在第2版中被删除。-_N.J.A.斯隆，2015年3月28日]

%H Askar Dzhumadil'daev和Damir Yeliussizov，<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v22i4p10“>行走、分区和正常排序，《组合数学电子期刊》，22（4）（2015），#P4.10。

%H Erich Neuwirth，<a href=“https://doi.org/10.1016/S0012-365X（00）00373-3“>递归定义的组合函数：扩展Galton板</a>，离散数学。239 No.1-3，33-51（2001）。

%H Michael J.Schlosser和Meesue Yoo，<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v24i1p31“>椭圆盒和文件编号</a>，组合数学电子期刊，24（1）（2017），#P1.31。

%F T（n，k）=（n-3）！*求和{j=k-3..n-3}C（n-j-1,2）*|斯特林1（j，k-3）|/j！。

%F递推关系：T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T（n-1，k）对于n>3，边界条件为：T（n,2）=T（2，n）=0，对于所有n；T（3,3）=1；当k>3时，T（3，k）=0。

%F特殊情况：

%F T（n，3）=（n-1）/2! 对于n>=3。

%F T（n，4）=（n-1）/2!*（1/3+…+1/（n-1）），对于n>=3。

%F T（n，k）=和{3<=i_1<…<i_（n-k）<n}（i_1*i_2*…*i_（n-k））。例如，T（6,4）=Sum_{3<=i<j<6}（i*j）=3*4+3*5+4*5=47。

%F行g.F.：求和{k=3..n}T（n，k）*x^k=x^3*（x+3）*（x+4）**（x+n-1）。

%例如，对于列（k+3）：求和{n=k..inf}T（n+3，k+3，*x^n/n！=1/k*1/（1-x）^3*（log（1/（1-x））^k。

%例如：（1/（1-t））^（x+3）=和{n=0..inf}和{k=0..n}t（n+3，k+3）*x^k*t^n/n！=1+（3+x）*t/1！+（12+7*x+x^2）*t^2/2！+。。。。

%F该数组是矩阵乘积St1*P^2，其中St1表示第一类无符号斯特林数的下三角数组abs（A008275），P表示帕斯卡三角形A007318。行总和为n/三！（A001715）。交替行和为（n-2）！。

%如果我们定义F（n，i，a）=和（二项式（n，k）*斯特林1（n-k，i）*乘积（-a-j，j=0..k-1），k=0..n-i），那么T（n，i）=|F（n、i、3）|，对于n=1,2，。。。；i=0…n.-米兰，2008年12月21日

%e三角形开始

%e n\k |。。。。。3.....4.....5.....6.....7.....8

%e（电子）========================================

%e 3..|。。。。。1

%e 4..|。。。。。3.....1

%e 5..|。。。。12.....7.....1

%e 6..|。。。。60....47....12.....1

%e 7..|。。。360...342...119....18.....1

%e 8..|。。2520..2754..1175...245....25.....1

%e。。。

%e T（5,4）=7。{1,2,3,4,5}具有4个循环的置换，使得1、2和3属于不同的循环：（14）（2）（3）（5）、（15）（2。

%p与组合：T:=（n，k）->（n-3）！*加法（二项式（n-j-1,2）*abs（stirling1（j，k-3））/j！，j=k-3..n-3）：对于n从3到12 do seq（T（n，k），k=3..n）end do；

%Y参见A001710-A001714（第3列-第7列）、A001715（行总和）、A008275、A049458（签名版本）、A143491、A14349、A14345、A14348。

%K轻松，不，tabl

%O 3、2

%阿佩特·巴拉，2008年8月20日