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A126972号 熵对[1..n]的置换取的不同值的数目,其中置换pi的熵为Sum_{k=1..n}(pi(k)-k)^2。 4

%I#41 2022年6月17日13:21:28

%S 1,1,2,4,11,21,36,57,851211662212873654565616818179701141,

%电话1331154117722025230126012926327736554061449649615457,

%电话:598565467141777184379140988110661148112342132451411518116216

%N熵对[1..N]的置换取的不同值的数目,其中置换pi的熵为Sum_{k=1..N}(pi(k)-k)^2。

%C此外,求和(k=1..n,k*pi(k))所取的不同值的数量_Joerg Arndt_2011年4月22日

%C对于n>=4,sum(k=1..n,k*pi(k))取区间[A00292(n),A0000330(n)]中的每个值(参见A175929)_Max Alekseyev_,2012年1月28日

%H J.Sack和H.u lfarsson,<a href=“http://arxiv.org/abs/1106.1995“>排列的精细反演统计</a>,arXiv预打印arXiv:1106.1995[math.CO],2011-2012。

%孙志伟,<a href=“https://arxiv.org/abs/11811.10503“>关于{1,…,n}的排列和相关主题,arXiv:1811.10503[math.CO],2018。

%H<a href=“/index/Rec#order_04”>具有常系数的线性重复出现的索引条目,签名(4,-6,4,-1)。

%F对于n>=4,a(n)=1+二项式(n+1,3)=1+A000330(n)-A000292(n)=1+A000292(n-1)。

%传真:-(x^7-4*x^6+6*x^5-4*x^4+2*x^3-4*x^2+3*x-1)/(x-1)^4.-_M.F.Hasler,2012年1月12日

%e对于{1,2,3,4}的24个置换,求和集(k=1..n,(pi(k)-k)^2)产生{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}(11个不同的值)。

%e对于{1,2,3,4,5}的120个置换,求和集(k=1..n,(pi(k)-k)^2)产生{0,2,4,6,8,10,12,14,18,20,22,24,26,28,30,32,36,38,40}(21个值)。

%t线性递归[{4,-6,4,-1},{1,1,2,4,11,21,36,57},50]

%o(PARI)A126972(n)=(n!=3)+二项式(n+1,3)\\-M.F.Hasler_,2012年1月29日

%o(PARI)/*以下低效代码仅用于说明目的:*/A126972(n)={my(u=0,v=vector(n,i,i),t);sum(k=1,n!,!bittest(u,t=normal2(numtoperm(n,k)-v))&u+=1<t)}/*_M.F.Hasler_,2012年1月29日*/

%Y参考A007920(最大置换熵)、A000292(平均置换熵),A135298、A175929。

%K nonn,简单

%0、3

%杰夫·博斯科尔(jazzerciser(AT)hotmail.com),2007年3月20日

%Joel Brewster Lewis修正的E公式,2009年8月18日。

%E Joerg Arndt_2011年4月22日更正了术语,增加了更多术语,并澄清了定义。

%E a(0)=1,由_Alois P.Heinz于2019年1月22日添加

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