也就是说,数字n>=0,使得5n(n^2+6)是一个正方形。
根据Dickson的说法,Lucas表示,只有2、3、98和120个术语(缺少27个)。
Mordell参考表明,只有有限多个解决方案-艾伦·威尔克斯2007年3月10日
可以证明,所有这些数字n都可以从以下3个递归序列中的完美平方元素中获得:
1) x(0)=0,x(1)=4,x(k+1)=98*x(k)-x(k-1)。如果x(k)是一个正方形,那么n=30*x(k)。特别是:对于k=0,我们有n=30*x(0)=0,对于k=1,我们有n=30*x(1)=120。
2) x(0)=1,x(1)=49,x(k+1)=38*x(k)-x(k-1)。如果x(k)是一个正方形,那么n=2*x(k)。特别是:对于k=1,我们得到n=2*x(1)=2,对于k=2,我们获得n=2*x(1)=98。
3) x(0)=1,x(1)=9,x(k+1)=8*x(k)-x(k-1)。如果x(k)是一个正方形,那么n=3*x(k)。特别是:对于k=1,我们得到n=3*x(1)=3,对于k=2,我们获得n=3*x(1)=27。
还可以得出,对于任何这样的n,n/2、n/3或n/30中的一个是完美的正方形。我测试了上述每个循环序列的10^5项,没有发现新的完美平方。(结束)
该序列是有限的,因为椭圆曲线上的积分点数是有限的;在这种情况下,曲线是m^2=5n^3+30n。将方程乘以25,让y=5m和x=5n,得到y^2=x^3+150x。根据Magma,该曲线上的积分点为(x,y)=(0,0)、(10,50)、(15,75)、(24132)、(1351575)、(49010850)、(60014700)。所以这个列表是完整的。(结束)
这也得到了(使用Sage)的确认雅普间谍2007年5月27日
关于第二条评论:然而,卢卡斯实际上在他的原始笔记中包括了27条,这可以在引用的链接中看到。这个错误似乎源于迪克森-马特·韦斯特伍德2022年3月5日
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