有理数r（m，n）的三角：=A120072（m，n）/A120073（m，m），m>=2，1<=n<=m-1。r（m，n）=A120070（m，n）/（m^2*n^2）=1/n^2-1/m^2。用于H原子的光谱（见下文）。m \n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。2 3/4 0 0 0 0 0 0 0 0 03 8/9 5/36 0 0 0 0 0 0 0 0 4 15/16 3/16 7/144 0 0 0 0 0 0 05 24/25 21/100 16/225 9/400 0 0 0 0 0 06 35/36 2/9 1/12 5/144 11/900 0 0 0 0 07 48/49 45/196 40/441 33/784 24/1225 13/1764 0 0 0 08 63/64 15/64 55/576 3/64 39/1600 7/576 15/3136 0 0 0 9 80/81 77/324 8/81 65/1296 56/2025 5/324 32/3969 17/5184 0 010 99/100 6/25 91/900 21/400 3/100 4/225 51/4900 9/1600 19/8100 011 120/121 117/484 112/1089 105/1936 96/3025 85/4356 72/5929 57/7744 40/9801 21/12100...######################################################################################################################################行总和给出了有理数r（m）:=A120076（m）/A120077（m），m>=2：[3/4, 37/36, 169/144, 4549/3600, 4769/3600, 241481/176400, 989549/705600, 9072541/6350400, 1841321/1270080, 225467009/153679680,...].r（m）=Zeta（2；m-1）-（m-1）/m^2，m>=2，部分和Zeta（1；n）：=和（1/k^2，k=1..n）。参见A103345下的W.Lang链接。对于r（m），m>=2:r（x）：=ln（1-x）+polylog（2，x）/（1-x。#######################################################################################################################################n列数R（n，x）的生成函数：=和（R（m，n）*x^m，m=n+1..无穷大），n>=1，形式如下：R（n，x）=-双对数（1-x）+x*P（n，x））/（A（n）*（n^2）*（1-x，序列A（n）=[1,1,4,91441003600110557840063504，…]=A027451（n）（猜想），n>=1。有关A（n）的更多信息，请参见下文。前十个多项式P（n，x）为（见系数三角形A120078）：n=1:P（1，x）=1，n=2:P（2，n=3:P（3，x）=36-27*x-5*x^2，n=4:P（4，x）=144-108*x-20*x^2-7*x^3，n=5:P（5，x）=3600-2700*x-500*x^2-175*x^3-81*x^4，n=6:P（6，x）=3600-2700*x-500*x^2-175*x^3-81*x^4-44*x^5，n=7:P（7，x）=176400-132300*x-24500*x^2-8575*x^3-3969*x^4-2156*x^5-1300*x^6，n=8:P（8，x）=705600-529200*x-98000*x^2-34300*x^3-15876*x^4-8624*x^5-5200*x^6-3375*x^7，n=9:P（9，x）=6350400-4762800*x-882000*x^2-308700*x^3-142884*x^4-77616*x^5-46800*x^6-30375*x^7-20825*x^8，n=10:P（10，x）=6350400-4762800*x-882000*x^2-308700*x^3-142884*x^4-77616*x^5-46800*x^6-30375*x^7-20825*x^8-14896*x^9...这些n-1次的整数多项式P（n，x）可以用定义为polylog（2；x，n）：=总和（（x^m）/m^2，m=1..n），n>=1，如下所示。P（n，x）/A（n）=x^n+n^2*（1-x）*polylogknx（2，n，x。如果使用x^n+n^2*（1-x）*polylogknx（2，n，x）/x=（n^2）*（1-总和（（2*k+1）/（k*（k+1））^2）*x^k，k=1..n-1），n>=1，和当n=1为零时，很明显，如果取A（n）=LCM（（1*2）^2，（2*3）^2，。。。，（n-2）*（n-1）^2，（n-1。A（1）：=1。因此，A（n）=[1,1,4,3614436001764007056006350400，…]，n>=1，[1,1,2,6,12,60,604208520，…]的平方=A003418（n-1）。这是因为（2*k+1）（奇数）从不除（k*（k+1））^2（偶数），只有和中的最后一项可以被n^2整除。因此，A（n）是有理三角形第n行（n>=1）条目的分母的最小公倍数（LCM）其行多项式为p（n，x）：=x^n+n^2*（1-x）*polylogknx（2，n，x。#################################################################################################################################分子的三角形为A120072（m，n）：A120072的a（m，n）表头（三角形）m\n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 03 8 5 0 0 0 0 0 0 0 04 15 3 7 0 0 0 0 0 0 05 24 21 16 9 0 0 0 0 0 06 35 2 1 5 11 0 0 0 0 07 48 45 40 33 24 13 0 0 0 08 63 15 55 3 39 7 15 0 0 09 80 77 8 65 56 5 32 17 0 010 99 6 91 21 3 4 51 9 19 011 120 117 112 105 96 85 72 57 40 21...行总和为[3，13，25，70，54，203，197，340，303，825，…]=A120074（m），m>=2。##########################################################################################分母的三角形为A120073（m，n）：A120073的a（m，n）表头（三角形）m\n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 03 9 36 0 0 0 0 0 0 0 04 16 16 144 0 0 0 0 0 0 05 25 100 225 400 0 0 0 0 0 06 36 9 12 144 900 0 0 0 0 07 49 196 441 784 1225 1764 0 0 0 08 64 64 576 64 1600 576 3136 0 0 09 81 324 81 1296 2025 324 3969 5184 0 010 100 25 900 400 100 225 4900 1600 8100 011 121 484 1089 1936 3025 4356 5929 7744 9801 12100...行和给出：[4，45，176，750，1101，4459，6080，13284，16350，46585，….]=A120075（m），m>=2。############################################################################################################################################################################################################################氢原子谱线的频率约为：nu（m，n）=r（m，n）*3.287*10^{15}s^{-1}=r（n，m）*3.287 PHz，P=10^15的Peta，Hz=Hertz=1/s。相应的能量：E（m，n）=r（m，n）*13.599 eV，（eV=电子伏特，1 eV=1.602 176 53（14）*10^{-19}J，J=焦耳）。相应波长：λ（m，n）=（1/r（m，n））*91.196 nm，（1纳米=10^{-9}米）#####################################################################################################################n=1,2,3,4和5系列，对于m>=2,3,4,5和6，使用Lyman、Balmer、Paschen、Brackett和Pfund的名称，分别是。例如：n=2（Balmer系列）部分在可见范围内（近似值）：λ（3,2）=657 nm（红色），λ（4,2）=486 nm（绿色，λ（7.2）=397 nm（紫色），λ（8.2）=389 nm（紫色。。。相应（近似）频率为（T=Tera=10^{12}）：nu（3.2）=457 THz，nu（4.2）=617*THz，nu（5.2）=731*THz；nu（6.2）=755*THz，nu（7.2）=771*THz，nu（8.2）=782*THz；nu（9.2）=790*THz。。。相应的数值为（4位数）：1.89*eV、2.55*eV和2.86*eV。。。############################################紫外线下的Lyman级数（n=1，m>=2）：频率（3位数）：2.47*PHz、2.92*PHz和3.08*PHz。。。波长（4位数）：121.6*nm、102.6*nm、97.28*nm、95.00*nm、93.81*nm、93.10*nm、92.65*nm、92.34*nm、92.12*nm、91.96*nm、91.84*nm，。。。能量（4位数）：10.20*eV、12.09*eV和12.75*eV。。。###########################################红外Paschen系列（n=3，m>=4）：频率（3位数）：160太赫兹、234太赫兹、274太赫兹，298太赫兹、314太赫兹和325太赫兹、333太赫兹、383太赫兹和346太赫兹。。。波长（4位数）：1876.*纳米、1282.*纳米、1094.*纳米、1005.*纳米、955.1*纳米、923.4*纳米、902.0*纳米、886.8*纳米、875.5*纳米、867.0*纳米，。。。能量（3位数）：.661*eV、.967*eV和1.13*eV。。。##########################################红外中的Brackett系列（n=4，m>=5）：频率（近似值）：74*THz，114*THz，138*THz，154*THz，165*THz，173*THz，178*THz，183*THz，186*THz。。。波长（4位数，10^3 nm=1 micro（mu）m）：4053*nm、2627*nm、2167*nm、1946*nm、1818*nm、1737*nm、1682*nm、1642*nm，1612*nm。。。能量（3位数）meV（毫eV）：306*meV，472*meV。。。########################################## 红外Pfund系列（n=5，m>=6）：频率（近似值）：40.2*太赫兹、64.5*太赫兹和80.2*太赫兹，91.0*THz、98.7*THz和104*THz，109*THz。。。波长（4位数，10^3 nm=1 micro（mu）m）：7462*nm、4655*nm、3742*nm、3298*nm、3040*nm、2874*nm、2759*nm、2676*nm。。。能量（3位数）meV（毫eV）：166兆欧、266兆欧、332兆欧、376兆欧，408兆欧、432兆欧，450兆欧、463兆欧。。。###############################################预计到岸价##############################################################