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| A119458号 |
| 行读取的三角形：T（n，k）是长度为n的（标记的）循环二进制字的数量，k次出现次数为00（0<=k<=n）。 |
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6
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1, 1, 1, 3, 0, 1, 4, 3, 0, 1, 7, 4, 4, 0, 1, 11, 10, 5, 5, 0, 1, 18, 18, 15, 6, 6, 0, 1, 29, 35, 28, 21, 7, 7, 0, 1, 47, 64, 60, 40, 28, 8, 8, 0, 1, 76, 117, 117, 93, 54, 36, 9, 9, 0, 1, 123, 210, 230, 190, 135, 70, 45, 10, 10, 0, 1, 199, 374, 440, 396, 286, 187, 88, 55, 11, 11, 0, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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在《卡利茨和斯科维尔》（Carlitz and Scoville，第252页）中，第一学期是2学期。
注意，T（n，k）是长度为n且k次出现次数为00（0<=k<=n）的标记循环二进制字的数量。设W（n，k）是长度为n的二进制项链（=未标记的循环二进制字）的数量，当n=1时，如果允许环绕圆圈，则模式00正好出现k次。更准确地说，当n=1时，我们允许字符串在圆上环绕自身，形成长度为2的圆形字符串。我们有W（n，k）=A320341型（n，k）对于0<=k<=n。
幸运的是，由于T（n=1，k=0）=1=T（n+1，k=1），序列的作者（间接地）假设字符串0出现了一次模式00（如果允许在圆上仅环绕自身一次），而字符串1没有出现模式00。
当k>n时定义T（n，k）=0是有意义的线性组合结构，在他们论文的开头以及Flajolet和Sedgewick（2009）的书中非常抽象地定义。（由于这里的级数收敛于z和t，接近于0，因此在0左右的“小”区间内，1-t对所有t都是正的。）
利用Flajolet和Soria（1991）以及Hadjicostas和Zhang（2018）的理论，我们可以证明数字W（n，k）的g.f.是f（z，t）=Sum{n>=1，k>=0}W（n、k）*z^n*t^k=-Sum{d>=1}（phi（d）/d）*log（1-A（z^d，t^d））。我们还可以证明，对于n>=1和0<=k<=n，W（n，k）=（1/n）*Sum_{d|gcd（n，k）}phi（d）*T（n/d，k/d）
对于k=0，我们得到T（n，k=0）=A000204号（n） 和W（n，k=0）=A000358号（n） 对于n>=1，Flajolet-Soria多项式是A（z，t=0）=z+z^2（由Joerg Arndt发现）。
为了得到序列（T（n，k）：n>=1）和（W（n，k）：n>=1）的单变量g.f.，当k>=1时，我们必须将前两个g.f.的k次相对于T进行微分，设T=0，然后除以k！。（很明显，日志现在消失了。）
对于k=2，我们得到T（n，k=2）=A006491号（n-1）对于n>=1（A006491号（0）：=0）和W（n，k=2）=（1/n）*（T（n，2）+I（2|n）*T（n/2,1））对于n>=1，其中I（2| n）=1如果2|n，否则为0。
对于k=3，我们得到T（n，k=3）=A006492号（n-2）对于n>=1（A006492号（m） m=1,2）=0，W（n，k=3）=（1/n）*（T（n，3）+2*I（3|n）*T（n/3，1）），n>=1。
只要发现正确的“Flajolet-Soria”多项式A_P（z，t），这个理论就可以推广到0和1的任何模式P。换言之，如果P是长度为L的0和1的有限模式，并且我们让T_P（n，k）是长度为n的（标记的）循环二进制字的数量，其中P出现k次（0<=k<=n），并且我们允许长度为n，长度为1<=n<L的字符串在圆上缠绕，形成长度为n*上限（L/n）的字符串，那么（很可能）我们可以将T_p（n，k）的g.f.表示为1-z*（d（1-A_p（z，T））/dz）/（1-A_p（z、T））。在这种情况下，如果W_P（n，k）是长度为n的二进制项链（=未标记的循环二进制字）的数量，正好有k个模式P出现，则其生成函数为Sum_{n>=1，k>=0}W_P[n，k]*z^n*t^k=-Sum_{d>=1}（phi（d）/d）*log（1-a_P（z^d，t^d）））。对于n>=1和0<=k<=n，我们还可以证明W_P（n，k）=（1/n）*Sum_{d|gcd（n，k）}phi（d）*T_P（n/d，k/d）。
最后一点需要注意的是：Flajolet和Soria（1991）的理论似乎只适用于k=0的情况，并且适用于我们同时考虑所有k的情况。（对于固定k>=2，W_P（n，k）不仅取决于T_P（n，k），而且还取决于所有T（n/d，k/d），其中d的范围超过n和k的公约数。因此，对于固定k>=2，似乎没有线性组合结构，其元素循环列表与我们想要的项链集合相对应。）另见Flajolet和Sedgewick（2009），第84-85和729-730页。
（结束）
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链接
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L.Carlitz和R.Scoville，零一序列与斐波那契数《斐波纳契季刊》，第15期（1977年），246-254页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009.
P.Flajolet和M.Soria，循环结构，SIAM J.离散。数学。，第4卷（1），1991年，第58-60页。
P.Flajolet和M.Soria，循环结构，SIAM J.离散。数学。，第4卷（1），1991年，第58-60页。
P.Hadjicostas和L.Zhang，关于避免模式的循环字符串，离散数学，341（2018），1662-1674。
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配方奶粉
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对于n>=3和k>=1，T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-2，k）+T（n-1，k-1）-T（n-2、k-1）。
G.f.：G（z，t）=Sum_{n，k>=0｝t（n，k）*z^n*t^k=（1+z^2-t*z^2）/（1-z-z^2-t*z+t*z^2）。[编辑：Petros Hadjicostas公司，2019年1月5日]
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例子
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T（5,3）=5，因为我们有10000、01000、00100、00010和00001。
T（n，k）的三角形开始于：
n=0:1；
n=1:1，1；
n=2:3,0,1；
n=3:4，3，0，1；
n=4:7、4、4、0、1；
n=5:11、10、5、5、0、1
n=6:18、18、15、6、6、0、1；
n=7:29、35、28、21、7、7、0、1；
n=8:47、64、60、40、28、8、8、0、1；
n=9:76、117、117，93、54、36、9、9、0、1；
n=10:123、210、230、190、135、70、45、10、10、0、1；
...
如果我们取t（n，k）的g.f.g（z，t）在z=0附近的Taylor展开式，我们得到g（z、t）=1+（1+t）*z+（3+0*t+t^2）*z^2+（4+3*t+0*t^2+t^3）*z43+。。。
另一方面，如果我们取W（n，k）的g.f.f（z，t）的泰勒展开式=A320341型（n，k）围绕z=0，我们得到F（z，t）=（1+t）*z+（2+0*t+t^2）*z^2+（2+t+0*t^2+t^3）*z ^3+（3+t+t*t^2+0*t^3+t^4）*z^4+。。。
W（n，k）的三角形开始于：
n=1∶1，1；
n=2:2,0,1；
n=3:2,1,0,1；
n=4:3，1，1，0，1；
n=5:3，2，1，1，0，1；
n=6:5、3、3、1、1、0、1；
n=7:5、5、4、3、1、1、0、1；
n=8:8、8、8，5、4、1、1、0、1；
n=9:10、13、13、11、6、4、1、1、0、1；
n=10:15、21、24、19、14、7、5、1、1、0、1；
...
例如，对于n=4，我们有以下有标记和无标记的循环二进制词（方括号表示等价类）：
k=0:[11111]，[11110110110111]，[010100101]，T（4,0）=7，W（4,O）=3；
k=1:[110010010010110110]，T（4,1）=4，W（4,1）=1；
k=2:[0001001001000]，T（4.2）=4，W（4.2）=1；
k=3：无，T（4.3）=0=W（4.3）；
k=4:[0000]，T（4,4）=1=W（4,3）。
（结束）
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MAPLE公司
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T： =过程（n，k）：如果k>n或k<0，则0 elif n=0且k=0，则1 elif n=1，然后1 elif n=2且k=0，然后3 elif n=2且k=1，则0其他T（n-1，k）+T（n-2，k）+T以三角形形式生成序列
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=其中[k>n||k<0，0，n==0&&k==0，1，n==1，1，n==2&&k==0，3，n==2&k==1、0，真，T[n-1，k]+T[n-2，k]+T[n-1，k-1]-T[n-2、k-1]]；
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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经核准的
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