%I#71 2021年7月23日02:17:58

%编号：1,2,10,829381377824721052403381281498023551246162109979486890，

%电话：37642818730421411047990671785749087305575378252969604725106090，

%电话：119553678355057753787860396799160419933572232479636949305861428021852497140997527094395050

%N a（N）=和{k=0..N}E2（N，k）*2^k，其中E2（N，k）是二阶欧拉数A340556。

%C曾用名：三角形A112486的行和。

%H Michael De Vlieger，n表，n=0..376的a（n）</a>

%H Roland Bacher，<a href=“https://doi.org/10.37236/2522“>有限群中泛型子集的计数填充发件人：N.J.A.Sloane，2013年2月6日

%H W.Steven Gray、Luis A.Duffaut Espinosa和Kurusch Ebrahimi-Fard，<A href=“https://arxiv.org/abs/1204.08950“>Chen-Fleiss级数的可加网络：局部收敛和相对度</a>，arXiv:2104.08950[eess.SY]，2021。

%H W.S.Gray和M.Thitsa，<a href=“https://doi.org/10.109/SSST.2013.6524939“>系统互连和组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日，数字对象标识符：10.1109/SSST.2013.6524939。

%H M.Thitsa和W.S.Gray，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/10852760“>关于互连分析非线性输入输出系统的收敛半径，SIAM控制与优化杂志，第50卷，第5期，第2786-2813页发件人：N.J.A.Sloane，2012年12月26日

%F a（n）=和{m=0..n}A112486（n，m），n>=0。

%F a（n）=2*A032188（n+1），n>0.-_Vladeta Jovovic_，2007年7月11日

%F From _Paul D.Hanna，2009年6月30日：（开始）

%F例如，A（x）满足：A'（x）=A（x。

%F例如：A（x）满足：A（x）=exp（积分[A（x。（结束）

%例如：A（x）满足：A（x）=2*exp（A（x！（例如，当偏移量=1时）_Paul D.Hanna_，2011年9月23日

%F来自_Tom Copeland_，2011年10月5日：（开始）

%F对于c（0）=0和c（n+1）=（-1）^n a（n），对于n>=0，c（n）=（-1）^（n+1）PW（n，-2）和PW，Ward多项式A134991。例如，对于c（n）为A（x）=-（x+2）-LW{-2 exp[-（xx2）]}，其中LW（x）是Lambert W Fct的一个合适分支。（见A135338）。

%F组成逆函数是B（x）=x+2（exp（x）-x-1）。这些结果是A134685的一个特例，其中u（x）=B（x），即u_1=1和（u_n）=2表示n>0。

%F设h（x）=1/（dB（x）/dx）=1/[1+2（exp（x）-1）]，则c（n）由（h（x。此外，dA（x）/dx=h（A（x））。

%F例如，F.A（x）=-v*Sum_（j>=1）D（j-1，u）（-z）^j/j！其中u=-（x+2），v=1+u，z=（1+v）/（v^2）和D（j-1，u）是A042977的多项式。（结束）

%F a（n）=（n-1）*（Sum_{k=0..n-1}二项式（n+k-1，n-1）*Sum_{j=0...k}（-1）^（n+j-1）*二项式（k，j）*Sum_{l=0..j}二项式（j，l）*（j-l）*2^（j-l）*（-1）^l*箍筋2（n-l+j-1，j-l，n> 0.-_Vladimir Kruchinin，2012年2月14日

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1+k*x-2*x*（k+1）/Q（k+1）；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月1日

%F a（n）~n ^n/（经验（n）*（1-对数（2））^（n+1/2））_Vaclav Kotesovec_，2017年8月14日

%F a（0）=1；a（n）=n*a（n-1）+和{k=0..n-1}二项式（n，k）*a（k）*a（n-k-1）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2020年7月2日

%p A112487：=程序（n）

%p添加（A112486（n，k），k=0..n）；

%p end程序：#_R.J.Mathar_，2013年12月19日

%p序列（op（k，convert（asympt（GAMMA（n，2*n）*exp（2*nMaple 2017，_Vaclav Kotesovec_，2017年8月14日

%p E2:=（n，k）->`如果`（k=0，k^n，组合：-欧拉2（n，k-1））；

%p a:=n->加（E2（n，k）*2^k，k=0..n）：

%p序列（a（n），n=0..17）；#_Peter Luschny_，2021年2月13日

%t a[n]：=（n-1）*（总和[二项式[n+k-1，n-1]*总和[（-1）^（n+j-1）*二项式[k，j]*总和]（二项式[Cj，l]*（j-l）*2^（j-l）*（-1）^l*箍筋S2[n-l+j-1，j-l]）/（n-l+j-1）！，{l，0，j}]，{j，0，k}]，[k，0，n-1}]）；表[a[n]，{n，1，18}]（*_Jean-François Alcover_，2013年2月26日，在_Vladimir Kruchinin_*之后）

%tT[n_，k_]：=t[n，k]=如果[k==0，Boole[n==0]，如果[n<0，0，kT[n-1，k]+（2n-k）t[n-1，k-1]]；a[n_]：=总和[T[n，k]2^k，{k，0，n}]；

%t表[a[n]，{n，0，17}]（*_Peter Luschny_，2021年2月13日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=exp（整数（a+a^2）+x*o（x^n））；n！*polcoeff（a，n）}\\_Paul D.Hanna，2009年6月30日

%o（最大值）a（n）：=（n-1）*（和（二项式（n+k-1，n-1）*和（（-1）^（n+j-1）*二项式*2^（j-l）*（-1）^l*斯特林2（n-l+j-1，j-l！，l、 0，j），j，0，k），k，0，n-1））；/*_Vladimir Kruchinin，2012年2月14日*/

%Y参考A340556、A112486、A032188、A032034、A134991、A135338。

%K nonn，简单

%0、2

%A _沃尔夫迪特·朗，2005年9月12日

%E来自_Peter Luschny_的新名称，2021年2月13日