对A1111160、A055113和A006013的评论日期：2005年10月11日星期二22:02:14-1000（HST）发件人：Douglas Rogers关于A055113，似乎还有更多有用的内容和A006013，特别是它们如何通过A111160链接：0 1 1 4 9 31 91 309 ...正在考虑的问题可以根据生成功能如下。给定加泰罗尼亚语序列的g.f.C数字（A000108），满足函数方程C=1+xCC，调查分区C=Z+W，哪里Z=1+ZW，（*）W=x（ZZ+ZW+WW）。(**)所以Z是A055113的g.f.，而W是A111160的g.f。现在，到A006013的链接是通过W的，因为W（x）=xC（x）U（xxC（x，其中U是A006013的生成函数。这种类型的功能函数关系在分支理论中很常见过程。这里的意思是W的系数，所以因此，A055113的术语也是选票的线性组合数字。但是，由于A006013的术语本身是“更高”或``实际上，我们有显式表达式对于序列的这个特殊分解中的项加泰罗尼亚数字。此外，有趣的是，关于二进制的问题发现操作具有这种局部形式的分辨率三元运算术语。这个恒等式的代数证明本身很简单（*）和（**）。一方面，Z=1/（1-xW），而在另一个W（1-xW）=x（ZZ+ZW）=xCZ。因此，W=xCZZ=XC/（1-xw）（1-xw）。因此，如果U（x）满足函数方程U=1/（1-xU）（1-xU），这实际上是获得A006013的一种方式，那么，通过比较，W（x）=xC（x）U（xxC（x，如所述。当然，如果我们写V=1+xVU，以便V=1/（1-xU），然后U=VV，虽然V=1+xVVV。这里V是序列A001764的生成函数比较著名的泛化加泰罗尼亚数字的家族。在特别是，V与三元括号的关系基本相同就像C使用二进制括号一样。自然，人们希望这个家族能产生一个全面的概括三元括号打开结果用于四元支架等。