作者：Philippe Flajolet at Internet日期：1995年11月25日上午10:28主题：Backhouse常数-------------------------------信息内容-------------------------------关于的存在性和计算反铲常数Philippe Flajolet，INRIA算法项目1995年11月25日一、问题设p（n）为第n素数，p（1）=2，并定义无穷-----\n个P（z）=1+）P（n）z。/-----n=1Nigel Backhouse检验了序列q（z）=1/P（z）中的系数q（n）：无穷-----1个\nQ（z）=----=）Q（n）z。P（z）/-----n=0他根据经验注意到q（n）在符号上交替连续值之间的比率趋于常数等于1.45607……现在称为“Backhouse常数”。请参阅史蒂文·芬奇网页上的描述。二、。分析下面是发生的事情。根据素数定理，我们有p（n）~nlog（n），无论如何，p（n）<（n+1）^2代表所有n。因此，p（z）是解析的z<1中的函数。因此，Q（z）在|z|<1中是亚纯的并且在任何子磁盘中只有有限多个极点|z |<=1-eps单元磁盘的。由于P（0）=1，Q（z）在0处是解析的。因此，根据柯西系数公式，/1 | Q（z）q（n）：=（------）|---------dz2iπ|（n+1）/z（z）其中积分轮廓是围绕0的一个足够小的圆。我们观察到P（z）在磁盘内部s0=-0.686处有一个唯一的零半径为0.75。因此，沿|z|=0.75积分并考虑说明z＝s0时Q（z）的余数给了我们1个（-n）q（n）=（--------）a0+O（.75）s0 P（s0）其中a0=1/s0=-1.45607是Backhouse常数。这个公式相当虽然其误差项的比率为1/0.75=1.33，因此指数较小而不是主导术语。通过捕鱼寻找下一个极点，可以走得更远。在这个找到这种类型更好的渐近展开式的方法n个n个q（n）=c[0]a[0]+c[1]a[1]+c[2]a[2]+等（如果遇到多个电极，进行适当修改），其中a[i]=1/s[i]，s[i]是P（z）的第i个零点。除了s0似乎没有真正的极点也没有多极，但我自然没有证据证明这一点观察。复数共轭极点对将使修正项像往常一样波动。注意，对于数值过程给出的任何零点集合，可以建立相应的计算机辅助证明。这就足够了使用论证原则[亨利希、复杂和计算分析]以确保某个磁盘中的所有零确实捕获。此外，所有这些都证明了系数q（n）最终符号交替。这可以通过使用扩展到n的所有值柯西余数积分的构造界及其检验穷尽了边界未涵盖的几十个初始值。最后，Polya-Carlson有一个一般定理具有整数系数和半径的非有理函数收敛1承认单位圆有一个自然边界。因此，正如预期的那样，P（z）和Q（z）都将单位圆作为单线。三、 一般备注我们刚才所做的是一个众所周知的一般过程的实例在亚纯函数系数的分析中。它与系数渐近的方法有关，如Darboux的方法或奇异性分析，在“分析”中特别有用组合词“”。一个我喜欢的很接近的例子在教学中使用系数渐近性如下。整数n的组合是大于0的整数加起来等于nn的组成为2^（n-1）。现在考虑组成其部分被限制为素数2,3,5,7,11，。。。有多少？答案：约0.303655263*1.476228783^n。证明。使用序列S（z）=1/（1-R（z））其中R（z）=z^2+z^3+z^5+z^7+z^11+。。。哲学：本次讨论表明这些问题非常简单因为这类问题是（指数）忽略了介入分析的精细结构功能。例如，可以定义“双后台”通过将P限制为对应于双素数对的项而得到常数！！尽管我们知道的不多，我们仍然可以证明渐近形式的存在，并计算新的在几分钟内保持为1000位数。对于Fermat-Backhouse和Mersenne-Backhouse常数！！！广告：关于这些问题的教程（“复杂渐近和生成函数”，INRIA技术代表20261993年9月）从提供，是将成为P.Flajolet和R.Sedgewick即将出版的一本书的一部分题为“分析组合学”。四、 后台常数的数值以下是西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）的实数词典http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC.htmlBackhouse常数的值约为1300位（使用Maple V.3程序在4分钟的CPU时间内确定在DEC Alpha 3000工作站上。）1.4560749485826896713995953511165435576531783748471315402707024\ 374140015062653898955996453194018603091099251436196347135486077\ 516491312123142920351770128317405369527499880254869230705808528\ 451124053000179297856106749197085005775005438769180068803215980\ 620273634173560481682324390971937912897855009041182006889374170\524605523103968123415765255124331292772157858632005469569315813\ 246500040902370666667117547152236564044351398169338973930393708\ 455830836636739542046997815299374792625225091766965656321726658\ 531118262706074545210728644758644231717911597527697966195100532\ 506679370361749364973096351160887145901201340918694999972951200\ 319685565787957715446072017436793132019277084608142589327171752\ 140350669471255826551253135545512621599175432491768704927031066\ 824955171959773604447488530521694205264813827872679158267956816\ 962042960183918841576453649251600489240011190224567845202131844\ 607922804066771020946499003937697924293579076067914951599294437\ 906214030884143685764890949235109954378252651983684848569010117\ 463899184591527039774046676767289711551013271321745464437503346\ 595005227041415954600886072536255114520109115277724099455296613\ 699531850998749774202185343255771313121423357927183815991681750\ 625176199614095578995402529309491627747326701699807286418966752\ 89794974645089663963739786981613361814875;五、MAPLE计划这只是牛顿方法应用于P（z），并且具有足够接近的起始值，增加我们继续进行P（z）截断中的项。呼叫b（7）给出CPU时间4分钟内1357个精确数字。数字：=16；#一定是因为枫叶的特质b： =proc（m）#计算Backhouse常数的位数超过10*2^m局部ord，x，i，j，P，DP，t；选项记忆；Ithprime:=proc（n）选项记住；ithprime（n）；结束；数字：=15；x： =-1/1.45607494858268967；单词：=72；对于我从1到m do位数：=2*位数；单词：=2*ord；P： =1；DP：=0；xj：=x；对于j从1到ord dot： =Ithprime（j）*xj；P： =P+t；压差：=压差+t*j；xj：=xj*x；od；x： =x-P*x/DP；od；返回（-1/x）；结束；b（6）；#在70秒内给出678个精确数字b（7）；#在4分钟内给出1357个精确数字-------------------------------消息结束--------------------------------