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| 2016年12月25日 |
| 行读取的三角形：T（n，k）是加泰罗尼亚树中深度n处标记为k的所有顶点的权重之和（1<=k<=n+1，n>=0）。 |
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1, 1, 2, 3, 6, 6, 15, 30, 36, 24, 105, 210, 270, 240, 120, 945, 1890, 2520, 2520, 1800, 720, 10395, 20790, 28350, 30240, 25200, 15120, 5040, 135135, 270270, 374220, 415800, 378000, 272160, 141120, 40320, 2027025, 4054050, 5675670, 6486480
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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加泰罗尼亚树的定义如下：根标记为1，每个标记为i的顶点都有标记为1、2、…、，。。。，i+1。顶点v的权重是从根到v的路径上所有标签的乘积。行n包含n+1项。行和和列1生成双阶乘(A001147号). T（n，n+1）=（n+1）！，T（n，n）=n（n+1）/2 (A001286号; Lah数字）。
此表按n的第一个出现位置统计满足条件“i+1的第一个外观跟随i的第一个外表”的多集{1,1,2,2，…，n，n}的排列。具体来说，T（n+1，k）是n在2n+1-k位置第一次出现的这种排列的数目。例如，n=2，k=1，T（3,1）=6次计数121323、121332、122313、122331、112323、112332-大卫·卡伦2007年11月29日
T（n+1，k）也是具有n个标记叶和k个标记根的有根完整二元林的数量。这是通过比较指数生成函数得出的；参见斯坦利的“枚举组合数学2”的示例5.2.6和命题5.1.3-蒂莫西·Y·周2017年3月28日
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链接
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Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。
S.Lehr、J.Shallit和J.Tromp，关于自动实的向量空间，理论。计算。科学。163（1996），第1-2期，193-210页。
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配方奶粉
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T（n，k）=k*（2*n-k+1）/[2^（n-k+1）*（n-k/1）！]（1<=k<=n+1）。
二元G.F.:exp[P（.，t）*x]=D_x{1-[G（x）/（1+t*G（x。
另外D_x g（x）=-（1-2*x）^（-1/2）=-exp[x*A001147号（.）]=-exp[x*（2*（.）-1）！！]，那么x^n/n的系数！在g（x）的展开式中是-（2*（n-1）-1）！！=-A001147号（n-1）对于n>0。
请参见A132382号对于基本上是导出此G.f.的反向的阵列，以及与其他阵列的连接。（结束）
例如：1/（1-x+x*sqrt（1-2*z））=1+x*z+（x+2*x^2）*z^2/2！+（3*x+6*x^2+6*x*^3）*z^3/3！+。。。。T（n，k）给出了n+2个节点上的平面递归树的数量，其中根的度数为k（Bergeron等人，推论5）-彼得·巴拉2012年7月9日
第n行多项式R（n，x）=（-1）^n/（x-1）*（和{k=1..无穷大}k*（k-2）**（k-2*n）*（x/（x-1））^k）。参见的行多项式的Dobinski型公式A001497号.（结束）
从上述2007年公式中，该条目的替代g.f.为GF（x，t）=-g（x）/[1+t*g（x”）]=x+（1+2*t）*x^2/2！+（3+6*t+6*t^2）*x^3/3！+。。。具有组成逆GFinv（x，t）={1-[1-x/（1+t*x）]^2}/2=-（1/2）[x/（1+t*x）]^2+x/（1+t*x）=Sum_{n>0}（-1）^（n+1）[（n-1）/2*t^（n-2）+t^（n-1）]*x^n，一个包含Lah数的级数A001286号当表达为例如f。
发件人A145271号，当K（x，t）=1/dGinv（x，t）/dx=1+（1+2*t）x+（1+t+t^2）x^2+x^3/[1-（1-t）*x]时，在x=0处计算的[K（x、t）d/dx]^n x给出了该条目的第n行多项式。
由于上面Bala的倒数，例如f.生成了一个移位的，有符号的A001147号，对于由Bala生成的多项式P（n，t），例如f.，umbrally（P（.，t）+a.）^n=0，对于n>0，a_0=1和a_n=-t*A001147号（n-1）对于n>0。例如，（P（.，t）+a.）^2=a_0*P（2，t）+2a_1*P（1，t）+a_2*P（0，t）=1*（t+2*t^2）+2*-t*t+-t*1=0。（结束）
T（n，k）=k*T（n-1，k-1）+（2*n-k）*T（n-1，k）。
例如：t*x*c（x/2）/（1-t*x*c（x/3））=t*x+（t+2*t^2）*x^2/2！+（3*t+6*t^2+6*t*2）*x^3/3！+。。。，其中c（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数字的g.fA000108号注意，相关的g.f.t*x*c（x）/（1-t*x*c（x））是A033184号（与Riordan阵列基本相同106566英镑)并枚举加泰罗尼亚树n_th层上标记为k的顶点数（k>=1，n>=0）。（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
1, 2;
3、6、6；
15, 30, 36, 24;
...
生产矩阵开始：
1, 2
1, 2, 3
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4, 5
1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
加泰罗尼亚树从1开始
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氧1氧气
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氧气
第2级：
标记为1的2个顶点：总权重1x1x1+1x2x1=3
标记为2的2个顶点：总重量2x1x1+2x2x1=6
1个顶点标记为3：总重量3x2x1=6
（结束）
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MAPLE公司
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2016年12月25日：=过程（n，k），如果k<=n+1，则k*（2*n-k+1）/2^（n-k+1）/（n-k/1）！否则0结束进程：
对于从0到8的n，请执行以下操作(2016年12月25日（n，k），k=1…n+1）od；#以三角形形式生成序列
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=my（m=n-k+1）；如果（k<1|k>n+1，0，k*（n+m）！/（2^m*m！））}/*迈克尔·索莫斯2016年8月16日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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