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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A093950型 1/(chi(-x)*chi(-x^7))的展开式,其中chi()是Ramanujan theta函数。 4
1、1、1、2、2、3、4、6、7、9、12、14、18、22、28、34、41、50、60、72、86、105、124、146、174、204、240、282、332、386、450、524、606、703、812、940、1082、1243、1428、1636、1873、2140、2448、2788、3172、3610、4096、4646、5264、5962、6736、7606、8582、9666、10884 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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Ramanujanθ函数:f(q)(参见邮编:A121373),φ(q)(A000122号),磅/平方英寸(q)(A010054型),池(q)(A000700美元).

给定g.f.A(x),Cayley恒等式的右边是2*q*A(q^2)。-迈克尔·索莫斯2013年12月3日

Cayley的身份证明,来自Silviu Radu,2015年3月13日:(开始)

在收敛问题上,我注意到在将q=e^{2pi-Iz}替换为以下内容后,恒等式可能会被重写:

E(28z)^(-1)x E(14z)^(-1)x E(7z)^(-1)x E(4z)^(-1)x E(2z)^(-1)-E(14z)^(-1)x E(7z)x E(2z)^(-1)x E(z)=2 E(28z)x E(14z)^(-1)x E(4z)x E(2z)^(-1)x E(4z)x E(2z)^(-1)

其中E(z)=exp(Pi iz/12)乘积{n>=1}(1-E^{2pi iz n})是Dedekind eta函数。

用第一项除以整个同一性,可以进一步改写上述同一性。我们获得:

1-E(28z)x E(14z)^(-3)x E(7z)^2 x E(4z)x E(2z)^(-3)x E(z)^2

-2e(28z)^2 x E(14z)^(-3)x E(7z)x E(4z)^2 x E(2z)^(-3)x E(z)=0

关于这个表达式有趣的是,每个项都是组Gamma_0(28)的模函数。

此外,除常数项外的所有项都有两个极点,因此整个左手边最多有两个极点(在z=1/14和z=1/2处)。

然而,我们检查q展开式中的前三个系数是零,这意味着左手边在无穷远点也有至少三个阶的零(注意z=ix infty转换成q=0,q=e^(2pi-iz})。

非零模函数的零点不可能比极点多,因此它是零函数。这就完成了证明。(结束)

参考文献

A、 凯利,《椭圆超越身份》,《数学信使》,第2卷(1873年),第179页。

链接

G、 C.格雷贝尔,n=0..1000时的n,a(n)表

A、 凯利,椭圆超越同一性

M、 索莫斯,Ramanujan theta函数简介

埃里克·韦斯坦的数学世界,Ramanujanθ函数

公式

q^(-1/3)*(eta(q^2)*eta(q^14))/(eta(q)*eta(q^7))的展开式。

周期14序列[1,0,1,0,1,0,0,1,0,2,0,1,0,1,0,…]的欧拉变换。

给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^3)满足0=f(B(q),B(q^2)),其中f(u,v)=u^2-v-2*u*v^2。

G、 f.是满足f(-1/(126 t))=1/2*G(t)的周期1傅里叶级数,其中q=exp(2 Pi i t),G()是A102314号. -迈克尔·索莫斯2013年12月3日

G、 f.:乘积{k>0}(1+x^k)*(1+x^(7*k))。

a(n)=A112212号(2*n+1)=-A102314号(2*n+1)。-迈克尔·索莫斯2013年12月3日

卷积逆A102314号.

a(n)=(-1)^n*A246762号(n) 一。-迈克尔·索莫斯2014年9月2日

a(n)~exp(2*Pi*sqrt(2*n/21))/(2^(7/4)*21^(1/4)*n^(3/4))。-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年9月7日

例子

G、 f.=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+4*x^6+6*x^7+7*x^8+。。。

G、 f.=q+q^4+q^7+2*q^10+2*q^13+3*q^16+4*q^19+6*q^22+。。。

数学

a[n_]:=系列系数[乘积[1+x^k,{k,n}]乘积[1+x^k,{k,7,n,7}],{x,0,n}];

a[n_u]:=系列系数[QPochhammer[-x,x]QPochhammer[-x^7,x^7],{x,0,n}];

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(prod(k=1,n,1+x^k,1+x*O(x^n))*prod(k=1,n\7,1+x^(7*k),1+x*O(x^n)),n))};

(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polcoeff(eta(x^2+a)*eta(x^14+a)/(eta(x+a)*eta(x^7+a)),n))};

交叉引用

囊性纤维变性。A102314号,A112212号,A246762号.

上下文顺序:邮编:A183954 甲266747 A246762号*A280715型 A023894号 A285799号

相邻序列:A093947号 A093948号 A093949号*A093951号 A093952型 A093953号

关键字

作者

迈克尔·索莫斯2004年4月19日

扩展

条目修订人N、 斯隆2015年3月15日(感谢多伦·齐尔伯格)

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月10日06:23。包含336368个序列。(运行在oeis4上。)