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| A084950美元 |
| 与拉盖尔多项式系数相关的连分式x/（1+x/（2+x/。 |
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1, 1, 2, 1, 6, 4, 24, 18, 1, 120, 96, 9, 720, 600, 72, 1, 5040, 4320, 600, 16, 40320, 35280, 5400, 200, 1, 362880, 322560, 52920, 2400, 25, 3628800, 3265920, 564480, 29400, 450, 1, 39916800, 36288000, 6531840, 376320, 7350, 36, 479001600, 439084800, 81648000, 5080320, 117600, 882, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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猜想：（n阶收敛到）连分式w/（1+w/（2+w/3+w/……）的分母的系数三角形。当w=1时，该连分式收敛到0.697774657964…=BesselI（1,2）/BeselI（0,2）-沃特·梅森2010年8月8日
对于一般w，高斯珀显示它等于n*2F3（[1/2-n/2，-n/2]，[1，-n，-n]，4*w）-沃特·梅森2013年1月5日
此数组的行长度序列为1+floor（n/2）=A008619号（n） ，n>=0。
连分式0+K{K>=1}（x/K）=x/（1+x/（2+x/。这些多项式满足递归q（n，x）=n*q（n-1，x）+x*q（n~2，x），对于用输入P（-1，x）=1，P（0，x）=0.和q（-1，x）=0和q（0,1）=1替换的q。当前数组提供Q系数：Q（n，x）=和（a（n，m）*x ^ m，m=0。。地板（n/2）），n>=0。关于P（n，x）/x系数，请参见配套阵列A221913型这证明了上述W.Meeussen猜想的第一部分。
输入q（-1，x）=a和q（0，x）=b的解，由于线性关系，q（a，b；n，x）＝a*P（n，x。研究q（n，x）重现的动机来自一封来自加里·德特利夫斯，他考虑了整数x和各种输入，并给出了显式公式。
这个数组与无符号拉盖尔多项式系数三角形的SW-NE对角线一致|A021009型|.
条目a（n，m）使用点（长度1）和破折号（长度2）对某些所谓的莫尔斯码多项式进行组合解释。a（n，m）是装饰n个位置1、2、…、，。。。，n带有m个破折号，m来自{0,1，…，floor（n/2）}，和n-2*m个点。位置k处的点有一个权重k，两个相邻位置之间的每个破折号都有一个标签x。A（n，m）是标签x^m被分割后，这些带有m个破折号的莫尔斯码的总和。例如，3个代码中的a（5,2）=5+3+1=9：短划线-点、短划线-点画线和点-短划线，或（12）（34）5、（12）3（45）和1（23）（45）分别带有标签（通常是乘法的）5*x^2、3*x^ 2和1*x^1。有关这些标记的莫尔斯电码系数的数组，请参见A221915型参见格雷厄姆等人的参考，第302页，关于欧拉延拓和莫尔斯电码。
对于固定x，连分式K_{K=1}^{infinity}（x/K）的极限（见上文）可以根据公式部分中给出的贝塞尔函数的Phat（n，x）和Q（n，x）的大阶n行为来计算。这与已知的BesselI和BesselK的大n行为有关，如Sidi和Hoggan参考中的等式（1.1）和（1.2）。另见Olver的书，ch.10，7，p.374。对于固定x，该连分式收敛到sqrt（x）*BesselI（1,2*sqrt（x））/BesselI（0,2*squart（x，））-沃尔夫迪特·朗2013年3月7日
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参考文献
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罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《混凝土数学》（Concrete Mathematics），第二版。；Addison-Wesley，1994年。
F.W.J.Olver，《渐近与特殊函数》，学术出版社，1974年（1991年第5次印刷）。
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链接
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Avram Sidi和Philip E.Hogan，高阶修正贝塞尔函数的渐近性《纯净与应用国际期刊》。数学。71第3号（2011）481-498。
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配方奶粉
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a（n，m）=（n-m）/米*二项式（n-m，m）-沃特·梅森2010年8月8日
递归（简写）：a（n，m）=n*a（n-1，m）+a（n-2，m-1），n>=1，a（0,0）=1，b（n，-1）=0，如果n<2*m，a（n、m）=0。根据上述注释中给出的Q（n，x）多项式的递归。
递归（长版本）：a（n，m）=（2*（n-m）-1）*a（n-1，m）+a（n-2，m-1）-（n-m-1）^2*a（n-2，m），n>=1，a（0,0）=1，a（n，-1）=0，a（n、m）=0（如果n<2*m）。从无符号正交拉盖尔多项式的标准三项递归。由于上面给出的显式阶乘公式是根据拉盖尔系数的阶乘公式推导出来的（反过来，拉盖尔系数值是根据罗德里格斯公式和莱布尼茨规则推导出来的），因此可以将此递归过程简化为前一个。这证明了a（n，m）=|Lhat（n-m，m）|与系数|Lhap（n，m）|=的关系|A021009型无符号n的（n，m）|*L（n，x）拉盖尔多项式。
有关列序列的f.s示例，请参见A021009型（这里有不同的偏移量，可以通过积分获得）。
例如，对于行多项式gQ（z，x）：=Sum_{z>=0}Q（n，x）*z^n=（i*Pi*sqrt（x）/sqrt（1-z））*（BesselJ（1，2*i*sqrt（x）*sqert（1-z-1）和贝塞尔函数。（结束）
行多项式为Q（n，x）=Pi*（z/2）^（n+1）*（BesselY（0，z）*BesselJ+1，w）*（-1）^（n+1）），其中w:=-2*sqrt（x）。请参见A221913型根据Abramowitz-Stegun的手册进行推导-沃尔夫迪特·朗2013年3月6日
Lim_｛n->无穷大｝Q（n，x）/n！=贝塞尔（0,2*sqrt（x））。请参阅上面关于渐近的注释-沃尔夫迪特·朗2013年3月7日
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例子
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不规则三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6。。。
O： 1个
1: 1
2: 2 1
3: 6 4
4: 24 18 1
5: 120 96 9
6: 720 600 72 1
7: 5040 4320 600 16
8: 40320 35280 5400 200 1
9: 362880 322560 52920 2400 25
电话：3628800 3265920 564480 29400 450 1
11: 39916800 36288000 6531840 376320 7350 36
12: 479001600 439084800 81648000 5080320 117600 882 1
例如，要得到第7行，将第6行的每个项乘以7，然后将第6行中的项NW相加：5040=（7）（720）；4320 = (7)(600) + 20; 600 = (7)(72) + 96; 16=（7）（1）+9。因此，第7行=5040 4320 600 16，总计9976=a（7）A001040号.
w/（1+w/（2+w/）（3+w/（4+w/5）））的分母等于120+96w+9w^2-沃特·梅森2010年8月8日
复发率（简称）：a（7,2）=7*72+96=600。
复发（长版）：a（7,2）=（2*5-1）*72+96-（5-1）^2*9=600。
a（7,2）=二项式（5,2）*5/2! = 10*3*4*5 = 600. （结束）
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MAPLE公司
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L:=（n，k）->abs（系数（n！*简化（拉盖尔L（n，x）），x，k））：
seq（seq（L（n-k，k），k=0..n/2），n=0..12）#彼得·卢什尼2020年1月22日
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数学
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表[系数列表[分母[一起[折叠[w/（#2+#1）&，无限，反向@表[k，{k，1，n}]]，w]，{n，16}]；(*沃特·梅森2010年8月8日*）
（*或同等名称：*）
表[（n-m）！*二项式[n-m，m]）/m，｛n，0，15｝，｛m，0，楼层[n/2]｝](*沃特·梅森2010年8月8日*）
row[n_]：=如果[n==0，1，x/ContinuedFractionK[x，i，{i，0，n}]//简化//一起//分母//系数列表[#，x]&]；
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交叉参考
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关键词
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标签,非n,容易的
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作者
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扩展
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根据公式添加第12至17行沃特·梅森2010年8月8日
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已批准
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