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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A084950型 与拉盖尔多项式系数有关的连分式x/(1+x/(2+x/(3+…)的n次近似分母多项式的系数数组。 16
1,1,2,1,6,4,24,18,1,120,96,9,720,600,72,1,5040,4320,600,16,40320,35280,5400,200,1,362880,322560,52920,2400,25,3628800,3265920,564480,29400,450,139916800,36288000,6531840,376320,7350,36,479001600,439084800,81648000,5080320,11760,882,1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

具有行和的阶乘三角形A001040型(n+1),n>=0。

猜想:当w=1时,(n次收敛到)连分式w/(1+w/(2+w/3+w/…这个连分式收敛到0.697774657964…=BesselI(1,2)/BesselI(0,2)-伍特·梅森2010年8月8日

对于w将军,高斯珀显示它等于n*2F3([1/2-n/2,-n/2],[1,-n,-n],4*w)-伍特·梅森2013年1月5日

狼牙2013年3月2日:(开始)

此数组的行长度序列为1+floor(n/2)=A008619号(n) ,n>=0。

连分式0+K{K>=1}(x/K)=x/(1+x/(2+x/(3+…具有n次近似P(n,x)/Q(n,x)。这些多项式满足q(n,x)=n*q(n-1,x)+x*q(n-2,x),对于输入为P(-1,x)=1,P(0,x)=0和q(-1,x)=0和q(0,1)=1的q代替q(n,x)=n*q(n-1,x)+x*q(n-2,x)。现在的数组提供了Q系数:Q(n,x)=和(a(n,m)*x^m,m=0。。楼层(n/2)),n>=0。对于P(n,x)/x系数,请参见伴随数组A221913年这证明了上面给出的W.Meeussen猜想的第一部分。

输入q(-1,x)=a和q(0,x)=b的解,由于线性关系,q(a,b;n,x)=a*P(n,x)+b*q(n,x)。研究q(n,x)复发的动机来自加里·德特勒夫斯,考虑了整数x和各种输入,给出了显式公式。

这个数组与无符号拉盖尔多项式系数三角形的SW-NE对角线重合|A021009年|.

条目a(n,m)用点(长度1)和短划线(长度2)对某些所谓的标记莫尔斯码多项式进行组合解释。a(n,m)是装饰n个位置1,2,。。。,n有m个破折号,m来自{0,1,…,floor(n/2)},还有n-2*m个点。位置k处的点有一个权重k,两个相邻位置之间的每一个短划线都有一个标记x。A(n,m)是这些标记的莫尔斯电码除以标记x^m后的m个破折号之和。E、 例如,a(5,2)=5+3+1=9,分别来自3个代码:短划线-点-点-短划线和点-短划线,或(12)(34)5,(12)3(45)和1(23)(45),标签(通常是乘法)5*x^2,3*x^2和1*x^2。有关这些标记的莫尔斯电码系数的数组,请参见A221915年参见格雷厄姆等人的参考文献,第302页,关于欧拉连续体和莫尔斯电码。

行和Q(n,1)=A001040型(n+1),n>=0。交替行和Q(n,-1)=A058797号(n) 一。(结束)

对于固定x,连分式K{K=1}^{infinity}(x/K)(见上文)的极限可以根据公式部分中给出的关于贝塞尔函数的Phat(n,x)和Q(n,x)的大阶n行为来计算。这与众所周知的BesselI和BesselK的大n行为一致,如Sidi和Hoggan参考文献eqs所示。(1.1)和(1.2)。另见奥尔弗的书,第10章,第7章,第374页。对于固定x,这个连分式收敛到sqrt(x)*BesselI(1,2*sqrt(x))/BesselI(0,2*sqrt(x))-狼牙2013年3月7日

参考文献

罗纳德·L·格雷厄姆、唐纳德·E·克努特和奥伦·帕塔什尼克,《混凝土数学》,第2版。;艾迪生·韦斯利,1994年。

F、 《渐近与特殊函数》,学术出版社,1974年(1991年第五次印刷)。

链接

G、 C.格雷贝尔,行,n=0。。149三角形,扁平

艾夫拉姆·西迪和菲利普·E·霍根,高阶修正贝塞尔函数的渐近性《纯粹与应用》杂志。数学。71第3号(2011)481-498。

公式

a(n,m)=(n-m)/m*二项式(n-m,m)-伍特·梅森2010年8月8日

狼牙2013年3月2日:(开始)

递归(简短版本):a(n,m)=n*a(n-1,m)+a(n-2,m-1),n>=1,a(0,0)=1,a(n,-1)=0,a(n,m)=0,如果n<2*m,则a(n,m)=0。

递归(长型):a(n,m)=(2*(n-m)-1)*a(n-1,m)+a(n-2,m-1)-(n-m-1)^2*a(n-2,m),n>=1,a(0,0)=1,a(n,-1)=0,a(n,m)=0,如果n<2*m,则a(n,m)=0。由于上面给出的显式阶乘公式是拉盖尔系数的阶乘公式(反过来,拉盖尔系数是由罗德里格斯公式和莱布尼兹规则推导而来),因此可以将这种递推简化为前一个。这证明了关系式a(n,m)=| Lhat(n-m,m)|,系数| Lhat(n,m)|=|A021009年(n,m)|无符号n*L(n,x)拉盖尔多项式。

关于s.f.列的顺序,请参见e.g.列A021009年(这里有不同的偏移量,可以通过积分获得)。

E、 g.f.对于行多项式gQ(z,x):=Sum{z>=0}Q(n,x)*z^n=(i*Pi*sqrt(x)/sqrt(1-z))*(BesselJ(1,2*i*sqrt(x)*sqrt(1-z))*BesselY(0,2*i*i*sqrt(x))x))-BesselY(1,2*i*sqrt(x)*sqrt(1-z))*BesselJ(0,2*i*sqrt(1-z))*BesselJ(0,2*i*sqrt(x)(x)))以假单位i=sqrt(-1 sqrt(-1=sqrt(-1-z)的假单位i=sqrt(-1=sqrt)和贝塞尔函数。(结束)

行多项式是Q(n,n,x)=Pi*(z/2)^(n+1)*(BesselY(0,z)*BesselJ(n+1,z)-BesselJ(0,z)*BesselY(n+1,z)*BesselY(n+1,z))的行多项式,z:z:=-i*2*sqrt(x)(x),假单位i,假单位i。另一个替代形式是Q(n,n,x)=2*(w/2)^(n+1)*(BesselI(0,w)*BesselK(n+1,w)-Beselk(0,w)*BesselL(n+1,w)*BesselI(n+1,w)*(n+1,w)*(n+1)^(n+1)),w:=-2*sqrt(x)。看到了吗A221913年基于Abramowitz Stegun手册的推导-狼牙2013年3月6日

Lim{n->infinity}Q(n,x)/n!=贝塞利(0,2*sqrt(x))。参见上面关于渐近线的评论-狼牙2013年3月7日

例子

不规则三角形a(n,m)开始于:

n\m 0 1 2 3 4 5 6。。。

O: 1

1: 1

2: 2 1个

3: 6 4个

4: 24点18分1秒

5: 120 96 9

6: 720 600 72 1

7: 5040 4320 600 16

8: 40320 35280 5400 200 1

9: 362880 322560 52920 2400 25

10: 3628800 3265920 564480 29400 450 1

11: 39916800 36288000 6531840 376320 7350 36

12: 479001600 439084800 81648000 5080320 117600882 1

...重新格式化并由扩展狼牙2013年3月2日

E、 g.为了得到第7行,将第6行的每个项乘以7,然后将第6行中的项NW相加:5040=(7)(720);4320=(7)(600)+20;600=(7)(72)+96;16=(7)(1)+9。因此,第7行=5040 4320 600 16,总和为9976=a(7)A001040型.

w/(1+w/(2+w/(3+w/(4+w/5)))的分母等于120+96w+9w^2-伍特·梅森2010年8月8日

狼牙2013年3月2日:(开始)

递归(短版):a(7,2)=7*72+96=600。

循环(长版):a(7,2)=(2*5-1)*72+96-(5-1)^2*9=600。

a(7,2)=二项式(5,2)*5/2!=10*3*4*5=600。(结束)

枫木

L:=(n,k)->绝对值(coeff(n!*简化(LaguerreL(n,x)),x,k)):

顺序(顺序(L(n-k,k),k=0。。n/2),n=0。。12) #彼得·卢什尼2020年1月22日

数学

表[系数列表[分母[合在一起[折叠[w/(#2+#1)&,无穷大,反向@Table[k,{k,1,n}]]],w],{n,16}];(*伍特·梅森2010年8月8日*)

(*或等效:*)

表[((n-m)!*二项式[n-m,m])/m,{n,0,15},{m,0,楼层[n/2]}](*伍特·梅森2010年8月8日*)

行[nü]:=If[n==0,1,x/ContinuedFractionK[x,i,{i,0,n}]//简化//一起//分母//系数列表[#,x]&];

行/@Range[0,12]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2019年10月28日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A001040型,A180047号,A180048号,A180049号.

比较A021009年(拉盖尔三角)。有关列序列的A编号,请参阅A021009年.A221913年.

囊性纤维变性。A052119号.

上下文顺序:A005299号 邮编:A185586 邮编:A128728*A336382型 A180317号 A066654号

相邻序列:A084947号 A084948号 A084949号*A084951号 A084952型 A084953号

关键字

塔夫,,容易的

作者

加里·W·亚当森2003年6月14日

扩展

根据公式添加第12至17行伍特·梅森2010年8月8日

姓名更改人狼牙2013年3月2日

状态

经核准的

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上次修改时间:2022年1月22日23:50。包含350504个序列。(运行在oeis4上。)