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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A084950美元 连续分数x/(1+x/(2+x/(3+…)的第n次近似的分母多项式的系数数组,与拉盖尔多项式系数有关。 16

%I#70 2020年1月23日08:25:21

%S 1,1,2,1,6,4,24,18,1120,96,9720600,72,15040432600,1640320,

%电话:3528054002001362880322560529202400,253628003265920564480,

%电话:29400450,1399168003628800065318403763207350,36479001600439084800816480005080320117600882,1

%N与拉盖尔多项式系数相关的连分式x/(1+x/(2+x/。

%C A阶乘三角形,行和A001040(n+1),n>=0。

%C猜想:第n个分母的系数三角形也收敛于连分式w/(1+w/(2+w/3+w/……该连分式在w=1时收敛于0.697774657964…=BesselI(1,2)/BesselI(0,2)_Wouter Meeussen_,2010年8月8日

%C对于一般w,_Bill Gosper_显示它等于n*2F3([1/2-n/2,-n/2],[1,-n,-n],4*w)_Wouter Meeussen_,2013年1月5日

%C From _Wolfdieter Lang,2013年3月2日:(开始)

%C此数组的行长度序列为1+floor(n/2)=A008619(n),n>=0。

%连分式0+K_{K>=1}(x/K)=x/(1+x/(2+x/。这些多项式满足递归q(n,x)=n*q(n-1,x)+x*q(n~2,x),对于用输入P(-1,x)=1,P(0,x)=0.和q(-1,x)=0和q(0,1)=1替换的q。当前数组提供Q系数:Q(n,x)=和(a(n,m)*x ^ m,m=0。。地板(n/2)),n>=0。关于P(n,x)/x系数,请参见伴随阵列A221913。这证明了上述W.Meeussen猜想的第一部分。

%C由于线性关系,输入q(-1,x)=a和q(0,x)=b的解为q(a,b;n,x)=a*P(n,x,)+b*q(n,x)。研究q(n,x)循环的动机来自加里·德特列夫斯的一封电子邮件,他考虑了整数x和各种输入,并给出了明确的公式。

%C此数组与无符号拉盖尔多项式系数三角形|A021009|的SW-NE对角线重合。

%C条目a(n,m)使用点(长度1)和破折号(长度2)对某些所谓的莫尔斯码多项式进行组合解释。a(n,m)是装饰n个位置1、2、…、,。。。,n带有m个破折号,m来自{0,1,…,floor(n/2)},和n-2*m个点。位置k处的点有一个权重k,两个相邻位置之间的每个破折号都有一个标签x。A(n,m)是标签x^m被分割后,这些带有m个破折号的莫尔斯码的总和。例如,3个代码中的a(5,2)=5+3+1=9:短划线-点、短划线-点画线和点-短划线,或(12)(34)5、(12)3(45)和1(23)(45)分别带有标签(通常是乘法的)5*x^2、3*x^ 2和1*x^1。关于这些标记莫尔斯电码系数的数组,请参见A221915。参见格雷厄姆等人的参考,第302页,关于欧拉延拓和莫尔斯电码。

%C行总和Q(n,1)=A001040(n+1),n>=0。交替行和Q(n,-1)=A058797(n)。(结束)

%C对于固定x,连分式K_{K=1}^{infinity}(x/K)(见上文)的极限可以根据公式部分中给出的贝塞尔函数的Phat(n,x)和Q(n,x)的大阶n行为来计算。这遵循了众所周知的贝塞尔I和贝塞尔K的大n行为,例如在Sidi和Hoggan参考文献中给出的,方程(1.1)和(1.2)。另见Olver的书,ch.10,7,p.374。对于固定x,该连分式收敛到sqrt(x)*BesselI(1,2*sqrt_Wolfdieter Lang,2013年3月7日

%D Ronald L.Graham、Donald E.Knuth和Oren Patashnik,《混凝土数学》,第二版。;艾迪森·韦斯利,1994年。

%D F.W.J.Olver,《渐近与特殊函数》,学术出版社,1974年(1991年第5次印刷)。

%H G.C.Greubel,<a href=“/A0849950/b084950.txt”>行,n=0..149三角形,扁平</a>

%H Avram Sidi和Philip E.Hogan,<a href=“http://www.ijpam.eu/contents/2011-71-3/16/index.html“>高阶修正贝塞尔函数的渐近性。

%F a(n,m)=(n-m)/米*二项式(n-m,m)_Wouter Meeussen_,2010年8月8日

%F From_Wolfdieter Lang,2013年3月2日:(开始)

%F递归(简称):a(n,m)=n*a(n-1,m)+a(n-2,m-1),n>=1,a(0,0)=1,b(n,-1)=0,a(n、m)=0如果n<2*m。根据上述注释中给出的Q(n,x)多项式的递归。

%F递归(长型):a(n,m)=(2*(n-m)-1)*a(n-1,m)+a(n-2,m-1)-(n-m-1)^2*a(n-2,m),n>=1,a(0,0)=1,a(n,-1)=0,a(n、m)=0如果n<2*m。从无符号正交拉盖尔多项式的标准三项递归。由于上面给出的显式阶乘公式是根据拉盖尔系数的阶乘公式推导出来的(反过来,拉盖尔系数值是根据罗德里格斯公式和莱布尼茨规则推导出来的),因此可以将此递归过程简化为前一个。这证明了a(n,m)=|Lhat(n-m,m)|与无符号n*L(n,x)拉盖尔多项式。

%F关于列序列的F.s,参见A021009(这里有不同的偏移量,可以通过积分获得)。

%例如,对于行多项式gQ(z,x):=Sum_{z>=0}Q(n,x)*z^n=(i*Pi*sqrt(x)/sqrt(1-z))*(BesselJ(1,2*i*sqrt(x)*sqert(1-z(-1)和贝塞尔函数。(结束)

%F行多项式是Q(n,x)=Pi*(z/2)^(n+1)*(BesselY(0,z)*BesselJ n+1,w)*(-1)^(n+1)),w:=-2*sqrt(x)。参见A221913,了解基于Abramowitz-Stegun手册的推导_Wolfdieter Lang,2013年3月6日

%F Lim_{n->infinity}Q(n,x)/n!=贝塞尔I(0,2*sqrt(x))。请参阅上面关于渐近的注释_Wolfdieter Lang,2013年3月7日

%e不规则三角形a(n,m)开始于:

%e n\m 0 1 2 3 4 5 6。。。

%电子O:1

%e 1:1

%e 2:2 1

%电子3:6 4

%电子4:24 18 1

%电子5:120 96 9

%e 6:720 600 72 1

%电话7:5040 4320 600 16

%电子邮箱8:40320 35280 5400 200 1

%电子邮箱:362880 322560 52920 2400 25

%e 10:3628800 3265920 564480 29400 450 1

%e 11:399916800 36288000 6531840 376320 7350 36

%电子邮箱:479001600 439084800 81648000 5080320 117600 882 1

%e。。。2013年3月2日,Wolfdieter Lang重新格式化并扩展

%例如,要得到第7行,将第6行的每个项乘以7,然后将第6行中的项NW相加:5040=(7)(720);4320 = (7)(600) + 20; 600 = (7)(72) + 96; 16 = (7)(1) + 9. 因此,第7行=5040 4320 600 16,总计9976=A001040的a(7)。

%e w/(1+w/(2+w/)(3+w/(4+w/5)))的分母等于120+96w+9w^2_Wouter Meeussen_,2010年8月8日

%e摘自Wolfdieter Lang,2013年3月2日:(开始)

%e复发率(简称):a(7,2)=7*72+96=600。

%e复发率(长版):a(7,2)=(2*5-1)*72+96-(5-1)^2*9=600。

%e a(7,2)=二项式(5,2)*5/2! = 10*3*4*5 = 600. (结束)

%p L:=(n,k)->abs(系数(n!*简化(拉盖尔L(n,x)),x,k)):

%p序列(序列(L(n-k,k),k=0..n/2),n=0..12);#_Peter Luschny_,2020年1月22日

%t表[系数列表[分母[一起[折叠[w/(#2+#1)&,无限,反向@表[k,{k,1,n}]],w],{n,16}];(*外务会议,2010年8月8日*)

%t(*或等效值:*)

%t表[((n-m)!*二项式[n-m,m])/m,{n,0,15},{m,0,Floor[n/2]}](*外梅森,2010年8月8日*)

%t行[n_]:=如果[n==0,1,x/ContinuedFractionK[x,i,{i,0,n}]//简化//一起//分母//系数列表[#,x]&];

%t行/@Range[0,12]//Flatten(*_Jean-François Alcover_,2019年10月28日*)

%Y参考A001040、A180047、A180048、A180049。

%Y参考A021009(拉盖尔三角形)。有关列序列的A编号,请参阅A021009的Cf.部分。A221913。

%Y参考A052119。

%K tabf、nonn、easy

%0、3

%A _加里·W·亚当森,2003年6月14日

%E根据_Wouter Meeussen_ 2010年8月8日的公式添加的第12至17行

%E名称由Wolfdieter Lang更改,2013年3月2日

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日02:23。包含371264个序列。(在oeis4上运行。)