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A081362号 q^(1/24)*eta(q)/eta(q^2)的q次幂展开。 86

%I#92 2022年8月22日10:08:14

%S 1,-1,0,-1,1,-1,1,-1,2,2,2,3,-3,3,-4,5,-5,5,-6,7,-8,8,-9,11,-12,

%T 12,-14,16,-17,18,-20,23,-25,26,-29,33,-35,37,-41,46,-49,52,-57,63,

%U-68,72,-78,87,-93,98,-107117,-125133,-144157,-168178,-192209,-22336,-255276,-294312,-335361,-385

%N q^(1/24)*eta(q)/eta(q^2)的q次幂展开。

%C Ramanujan theta函数:f(q)(见A121373)、phi。

%C(n分成偶数部分的分区数)-(n分成奇数部分的划分数)。[罚款]

%C斯莱特1952年列出的130个身份中的第3个。-_Michael Somos,2015年8月20日

%D B.C.Berndt,Ramanujan笔记本第四部分,Springer-Verlag,见第425页,推论1,等式(37)-(40)。

%D N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第38页,等式(22.14)。

%H Seiichi Manyama,n表,n(n)表示n=0..10000(Vaclav Kotesovec的术语0..5000)

%H Blecher,Aubrey;夏洛特·布伦南;阿诺德·克诺普马赫;Mansour,Toufik<a href=“https://doi.org/10.1007/s11139-014-9666-4“>计算隔墙转角。Ramanujan J.39,No.1,201-224(2016)。

%H J.Fulman,<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00920-X“>有限域上的随机矩阵理论,Bull.Amer.Math.Soc.(N.S.),39(2002),no.1,51--85。MR1864086(2002i:60012)。参见第70页顶部的等式3,其中k=0.-_N.J.A.Sloane,2014年8月31日

%H瓦茨拉夫·科特索维奇,<a href=“http://arxiv.org/abs/1509.08708“>基于生成函数卷积求q序列渐近性的方法,arXiv:1509.08708[math.CO],2015年9月30日,第13页。

%H Mircea Merca,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2015.08.014“>正整数除数最近卷积的组合解释,《数论杂志》,第160卷,2016年3月,第60-75页,函数p_{e-o}(n)。

%H Lucy Joan Slater,<a href=“http://plms.oxfordjournals.org/content/s2-54/1/147.extract“>Rogers-Ramanujan类型的进一步恒等式</a>,《伦敦数学学会学报》,第2辑,第22-54卷,第2期,第147-167页,(1952年)。

%H Michael Somos,《Ramanujan theta函数简介》</a>

%H Eric Weisstein的数学世界,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数</a>

%F G.F.:产品_{k>0}(1-x^(2*k-1))=产品_{k>0}1/(1+x^k)=1+Sum_{k>0}(-x)^k/(产品_{i=1..k}(1-x^i))。

%F a(n)=A027187(n)-A027193(n)。[罚款]

%F这是A000009的卷积逆(划分成不同的部分),即A000009 INVERTi变换的否定_Franklin T.Adams-Watters_,2006年1月6日

%F以x的幂展开chi(-x)=chi(-x^2)/chi(x)=phi(-x)/F。

%F以x^2的幂展开chi(x)*chi(-x)=F(x)/psi(x)=F[-x)/psi[-x],其中chi(),psi(),F()是Ramanujanθ函数。

%F F(-x,-x^5)/psi(x^3)的展开=φ(-x ^3)/F(x,x^2)的x次幂,其中phi()、psi()、F()是Ramanujanθ函数_Michael Somos,2015年6月3日

%F给定g.F.A(x),则B(q)=A(q^3)^8/q满足0=F(B(q,B(q^2)),其中F(u,v)=u^2*v+16*u-v^2。

%F G.F.A(x)满足A(x^2)=A(x”)*A(-x)。

%F G.F.是周期1傅里叶级数,满足F(-1/(1152 t))=2^(1/2)G(t),其中q=exp(2 Pi it),G()是A000009的G.F。

%周期2序列的F Euler变换[-1,0,…]。

%F q^(1/24)*f1(t)的幂展开式,其中f1()是韦伯函数。

%F a(n)=(-1)^n*A000700(n)。a(2*n)=A069910(n)。a(2*n+1)=-A069911(n)。

%F a(n)~(-1)^n*exp(Pi*sqrt(n/6))/(2*24^(1/4)*n^(3/4))。-_Vaclav Kotesovec_,2015年2月25日

%F a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*A072233(n,k).-_Peter Luschny_,2015年8月3日

%F G.F.:和{k>=0}(-1)^k*x^k^2/(产品{i=1..k}(1-x^(2*i))_Michael Somos,2015年8月20日

%如果n不在A152749中,F总和{j>=0}a(n-A000217(j))=0,如果n在A1521749中,则=(-1)^k,n=k*(3*k-1)。【Merca,推论4.1】-R.J.Mathar_,2016年6月18日

%F a(n)=-(1/n)*和{k=1..n}A000593(k)*a(n-k),a(0)=1.-_Seiichi Manyama,2017年3月25日

%F G.F.:exp(总和{k>=1}(-1)^k*x^k/(k*(1-x^k))_伊利亚·古特科夫斯基,2018年5月28日

%计算公式:(1-x)*Sum_{k>=0}(-1)^k*x^(k*(k+2))/(产品{i=1..k}(1-x^*

%F和{k>=0}(-1)^k*x^(k*(k+6))/(乘积{i=1..k}(1-x^_彼得·巴拉(Peter Bala),2021年1月15日

%e G.f=1-x-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+2*x^8-2*x^9+2*x*^10-2*x^11+。。。

%e G.f.=1/q-q^23-q^71+q^95-q^119+q^143-q^167+2*q^191-2*q^215+。。。

%t a[n_]:=系列系数[乘积[1-x^k,{k,1,n,2}],{x,0,n}];

%t a[n_]:=使用[{t=Log[q]/(2 Pi I)},级数系数[q^(1/24)DedekindEta[t]/DedekindEta[2t],{q,0,n}]];

%t a[n_]:=级数系数[Q超几何PFQ[{},{}、x^2,x],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2015年1月2日*)

%t a[n_]:=系列系数[1/QPochhammer[-x,x],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2015年1月2日*)

%t a[n_]:=系列系数[1/乘积[1+x^k,{k,n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2015年1月2日*)

%t a[n_]:=系列系数[QPochhammer[x,x^2],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2015年1月2日*)

%t a[n_]:=级数系数[Q超几何PFQ[{},{-1},x,-1]2,{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2015年5月11日*)

%t a[n_]:=使用[{m=反椭圆NomeQ@q},级数系数[(m/(1-m)^2/(16q))^(-1/24),{q,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯,2015年5月11日*)

%o(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*o(x^n);polceoff(eta(x+a)/eta(x^2+a),n))};

%o(鼠尾草)

%o来自sage.combinat.partition导入编号of_partitions_length

%o打印([sum(-1)^k*number_of_partitions_length(n,k)for k in(0..n))for n in(0..69)])#_Peter Luschny_,2015年8月3日

%Y参考A000009、A000700、A069910、A069911、A072233。

%K符号

%0、9

%A _迈克尔·索莫斯,2003年3月18日

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