+----------------------------------------------------------------------------+| || http://silk.research.att.com/~njas/sequences/a080237tree.txt|| ||关于OEIS序列A007001之间连接的注释||A080237、A080336、A076050、A085197和A085193||作者：Antti Karttunen，16-18岁。2003年6月|| |+----------------------------------------------------------------------------+OEIS中的序列A007001如下所示：身份证号：A007001（原M0108）网址：http://silk.research.att.com/projects/OEIS？Anum=A007001顺序：1,2,2,3,1,2,2,3,1,2,3,12,3,3,4,1,2,1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,4,2，1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,3,4,1,2,1,2,2,1,2,3,4,1,2,1,2，3,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,1,2,3,1,2名称：由1->12、2->123、3->1234等从1开始生成。参考文献S.Lehr、J.Shallit和J.Tromp，关于自动实数，定理。计算。科学。163（1996），第1-2号，193-210.J.West，生成树和禁止子序列，程序。第六届FPSAC（1994年），第441-450页（见第443页）。等。但如果不阅读例如韦斯特或班德里耶的文章，人们可能看不到它实际上隐藏了一棵树：1/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \1 2/| /|\/ | / | \/ | / | \/ | / | \1 2 1 2 3/| ^ /| ^ ^______/ | /|\ / | /|\ |\\__ \/ | / | \ / | / | \ | \ \ \1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4等，无穷大，序列A007001包括从该树的w:th级收集的术语（其中“w”代表第一个超限序数）。请注意，如果我们收集所有条款，从从顶部往下一层，我们得到序列A080237 1,1,2,1,2,1,1,2,2,3,1,2,2,3,2,1,2,3,12,2,31,2,3,4，。。。Benoit Cloitre对此给出了不同的定义：“从1开始并应用该过程：第k次运行是1，2，3，..，a（k-1）+1。”，但很明显，我们通过这个过程得到了上面的树。从现在起，我们将上述树称为“A080237树”。+----------------------------------------------------------------------------+| ||与A082315和A085197连接|| |+----------------------------------------------------------------------------+2003年3月15日，沃特·梅森在一封私人邮件中通知我，如果你取排列，它本质上是A082313和A057164（已作为A082315提交），并查看在其范围[A014137（n-1）..A014138（n-10,1，2,3，4,6,8,7,5，9,11,14,16,19,22,18,17,20,13,12,10,15，。。。1 2-3 4-------8 9-------------------------------------22其中每一个都“归一化”，从一开始减去A014138（n-2）从n：th亚突变得到：1; 1,2; 1,3,5,4,2; 1,3,6,8,11,13,14,10,9,12,5,4,2,7;...即逐行列出为：{1},{1, 2},{1, 3, 5, 4, 2},{1, 3, 6, 8, 11, 13, 14, 10, 9, 12, 5, 4, 2, 7},{1, 3, 6, 8, 11, 15, 17, 20, 22, 25, 29, 31, 34, 38, 36, 37, 40, 41, 42, 27,28, 24, 23, 26, 33, 32, 35, 39, 13, 14, 10, 9, 12, 5, 4, 2, 7, 19, 18, 16,21, 30},{1, 3, 6, 8, 11, 15, 17, 20, 22, 25, 29, 31, 34, 38, 43, 45, 48, 50, 53, ...等，然后每一个都以前一个置换的cat[n-1]整数开始。最多42个整数的重复位为：{1, 3, 6, 8, 11, 15, 17, 20, 22, 25, 29, 31, 34, 38, 43, 45, 48, 50, 53, 57,59, 62, 64, 67, 71, 73, 76, 80, 85, 87, 90, 92, 95, 99, 101, 104, 108, 113,115, 118, 122, 127,...... ;现已作为A085197提交给OEIS。如果每个项减去n，则得到：1,3,6,8,11,15,17,20,22,25,29,31,34,38,43,45,48,50,53,57,59, - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21= 0 1 3 4 6 9 10 12 13 15 18 19 21 24 28 29 31 32 34 37 38 (*).序列似乎是A080336，定义为Benoit Cloitre为A007001的部分总和。我证明这确实是同一序列。然而，在完成证明之前，我将调用序列（*）“距离序列”，d（n），其中n运行从0开始。首先，我们应该知道A007001/A080237中固有的树也可以用来构造所有的括号按照与它们由序列A014486和A063171：(), ()(), (()), ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())),()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(),（（））（（）），（）（））（），（）（）（）），（（）（））），（（））（），（（）），((()())), (((()))), ...方法很简单：从顶部的根节点向下遍历到所需的节点，并记下遇到的节点的标签在这个过程中。（A） 如果节点的标签k比标签大一然后添加一对括号（）在前一步添加的对内（即最右边（）。（B） 否则，在最右边的位置添加一对括号到目前为止，最右侧次碱化的“深度k”构建。如果标签为1，则表示将（）附加到“顶层”的括号末尾。本图给出了一个示例：1=()/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \1=()() 2=(())/| /|\/ | / | \/|/|\/ | / | \/ | / | \/ | / | \/ | / | \/|/|\/ | / | \1=()()() 2=()(()) 1=(())() 2=(()()) 3=((()))/| ^ /| ^ ^______/ | /|\ / | /|\ |\\__ \/|/|\/|/|\|\\1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4= (((())))| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | +-> ((()()))| | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | +-> ((())())| | | | | | | | | | || | | | | | | | | | +-> ((()))()| | | | | | | | | || | | | | | | | | +-> (()(()))| | | | | | | | || | | | | | | | +-> (()()())| | | | | | | || | | | | | | +-> (()())()| | | | | | || | | | | | +-> (())(())| | | | | || | | | | +-> (())()()| | | | || | | | +-> ()((()))| | | || | | +-> ()(()())| | || | +-> ()(())()| || +-> ()()(())|+-> ()()()()现在，A082315也是A057501的“正方形”通过这个简单的Lisp/Scheme函数以以下方式：（定义（gma057501 s）（附加（car s）（列表（cdr s）））要得到整数序列1,3,2,7,8,5,4,6,17,18,20,21,22,12,12,13,10，。。。在A057501中，我们让这个函数作用于“无符号S表达式”( () ), ( ()() ), ( (()) ), ( ()()() ), ( ()(()) ), ( (())() ),( (()()) ), ( ((())) ), ...从由A014486/A063171编码的那些获得（并且存在于上面的三角形），用额外的括号将其括起来以获取有效的Lisp/Scheme列表。然后，在获得结果后对于gma057501，我们删除了额外的括号，然后查找A014486/A063171中新括号的位置。上述函数将（）（））映射到（（）），反之亦然，因此，A057501（2）=3，A057401（3）=2。如果我们两次进行上述映射（即A082315给出的映射）那么，如果参数列表包含一对空括号（）作为其第一个元素，它只是转移到其余元素。例如。（gma057501（gma0.57501’（（）（（））（）（））给出了列表（（（））（（）（）（，）（（，））（））作为其值。请注意，事实上“A082315的亚突变都以前一个子置换的cat[n-1]整数“来自（gma057501（gma0.57501'（（）（）rest）））等于（cons'（）（gma057501（gma0.57501'（（）rest）））即，如果括号以two（或更多）开头连续的空括号对（），然后我们得到如果我们在做之前取下第一双鞋，结果也是一样的操作，然后才将其恢复到前面。因此序列d（n）给出了位置差A014486/A063171中的（）X和X（），其中X贯穿（）和所有不以（）开头的括号，我们应该证明序列A080336也是如此。A014486中此类括号的位置如下所示A081291，（）X和X（）之间的距离由A085196给出，所以我们应该有A080336（n）=A085196（A081291（n））。我们需要构建“w:th”层（其中“w”代表第一层超限序数）以某种有限的方式对上述树进行。我们这样做：首先从根上长出w个分支：1/..“w”个。./1（级别为“w”）。然后回到根部的一个边缘，在那里移植到右手边树A080237的子树，提取到深度1，即。\2得到：1/..“w”个。1/ \1 2然后再倒一个边，把右边移到右边A080237树的子树，提取到深度2，即。添加\2/|\1 2 3得到：1/..“w”个。1/\1 2/| /|\1 2 1 2 3等等，不停地，一层一层地。现在很明显“w”上的术语：A080237树的第层（即序列A007001）也可以通过扫描右侧的树以简单的从左到右、宽度第一的方式排列。但只有序列A081291给出了适当的索引（除了其初始项）到树的右侧，所以A007001现在可以定义为：A007001（1）=1，对于n>1的情况，A00701（n）=A080237（A081291（n-1））“w”：th级的节点对应于括号前缀为无限多个空对（），一个人必须从精神上抓住他们的屁股，以保持彼此的独特身份。幸运的是，转移一对括号（）从这个无限长的头部的前面算起等于更容易操作，即拾取第一个非（）部件之前的LAST（）（即部件开始作为（…），并将其转移到整体末尾插入，这只是一个推论我们上面所说的关于双重调用gma057501工程。我们可以将任何有限或无限括号编码为A080237树中需要遍历的节点列表以到达目标节点。因此，对“w”级的所有括号进行编码作为[1，…，1，后端]，其中前面的1的数量后置词是无限的，后置词以数字开头大于一。完成操作后，代码更改为[1，…，1，后置发动机，1]，我们注意到任意二者之间的相对词典顺序在这样的操作之后，括号不会更改。所以每个括号都移到下一个“可用”以（）结尾的括号，即其对应的括号树的“w”级节点为1。A007001中最左边的1对应于括号仅由无穷多个（）组成，因此它的位置不变，距离函数d（0）=0。A007001（2）=2对应于前缀为无穷多个（）的（（）），它将变为（（））（）[前缀为无穷多（）的]，位于下一个节点，因此d（1）=1。我们看到了d（0）=0d（n）=d（n-1）-1[因为我们从上一个节点开始一个节点]+前1个（已使用）到下1个（空闲）的距离但现在是时候注意到A007001有一个很好的功能了，如果将连续1之间的项数计算为：1,2,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3再次获得A007001。（即连续1之间的距离为A007001（n）+1=A076050（n））。为什么？想想两个相同的超限水平，“w:th”和上面树中的“w+1:th”级别。每个节点在级别“w”上标记为k在级别“w+1”上有k+1个子级，其中最左边的是1，因此在下一个1之前，只有k个节点>1。因此，上述公式可简化为：d（0）=0d（n）=d（n-1）+A007001（n）这只是A007001的部分和的公式，因此d（n）＝A080336（n）。量化宽松政策。+----------------------------------------------------------------------------+| ||A085193的公式|||+----------------------------------------------------------------------------+同一棵树也可用于推理其他相关的序列。例如，我将A085193（n）定义为A085192（A081291（n+1）-1）其中A085192（n）=A014486（n+1）-A014486（n）。也就是说，序列A085193是第一个序列中的重复部分A014486的差异。现在我们用1和0替换左括号和右括号，以更好地了解A014486/A063171的条款是如何适用的。看下面的树，很明显A085193（n）=4*A085193（A085182（n+1）-1）+2-（2^A007001（n+1如果A007001（n+2）==1，否则2^A007001（n+1）。其中A085182是一个基于一的序列，其开头为：1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,...定义为“n发生A076050（n）（=A007001（n）+1）次”，也就是说，我们可以认为它是一个辅助序列，其目的是返回祖先节点在“w”级的位置对于“w+1:th”级别的节点n。1=10/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \1=1010 2=1100/| /|\/ | / | \/|/|\/ | / | \/ | / | \/ | / | \/ | / | \/|/|\/ | / | \1=101010 2=101100 1=110010 2=110100 3=111000/| ^ /| ^ ^______/ | /|\ / | /|\ |\\__ \/|/|\/|/|\|\\1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4= 11110000| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | +-> 11101000| | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | +-> 11100100| | | | | | | | | | || | | | | | | | | | +-> 11100010| | | | | | | | | || | | | | | | | | +-> 11011000| | | | | | | | || | | | | | | | +-> 11010100| | | | | | | || | | | | | | +-> 11010010| | | | | | || | | | | | +-> 11001100| | | | | || | | | | +-> 11001010| | | | || | | | +-> 10111000| | | || | | +-> 10110100| | || | +-> 10110010| || +-> 10101100|+-> 10101010