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| A080054号 |
| G.f.：产品{n>=0}（1+x^（2n+1））/（1-x^。 |
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40
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1, 2, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 22, 30, 40, 52, 68, 88, 112, 144, 182, 228, 286, 356, 440, 544, 668, 816, 996, 1210, 1464, 1768, 2128, 2552, 3056, 3648, 4342, 5160, 6116, 7232, 8538, 10056, 11820, 13872, 16248, 18996, 22176, 25844, 30068, 34936, 40528
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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G.f.适用于R型成对隔板。
对于2n的分区数，其中所有奇数部分以重数2出现，偶数部分以多重数1出现。此外，g.f.表示分区数2n，无4的倍数。所有奇数部分都以偶数出现。偶数部分以重数1出现-Noureddine椅子2005年2月10日
这也是将整数过度分割为奇数部分的次数-詹姆斯·塞勒斯，2008年2月18日
第517页的《高等代数》参考文献中有一个251到252之间的未编号示例：“如果u^6-v^6+5u^2v^2（u^2-v^2）+4uv（1-u^4v^4）=0，证明（u^2v-^2）^6=16u^2v ^2（1-u_8）（1-v^8）.[PEMB.COLL.CAMB.]”。结果表明，这是5次模方程的两种形式-迈克尔·索莫斯2011年5月12日
设F（x）=Product_{n>=0}（1+x^（2*n+1））/（1-x^。实数F（1/n）的简单连分式展开式可以预测-分母可以是n中的多项式或拟多项式。示例如下-彼得·巴拉2019年11月3日
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan的θ函数理论，θ函数：从古典到现代，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1993年，第1-63页。MR 94m:11054。
A.Cayley，《关于椭圆函数的基本论述》，第二版，G.Bell and Sons，1895年，第245页，第333条。
J.W.L.Glaisher，《身份，数学信使》，5（1876），第111-112页。参见公式VI
J.W.L.Glaisher，《关于一些连分数》，《数学信使》，7（1878），第67-68页，见第68页
H.S.Hall和S.R.Knight，《高等代数》，麦克米伦出版社，1957年，第517页。
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链接
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埃迪·阿尔多恩（Eddy Ardonne）、里纳特·凯登（Rinat Kedem）和迈克尔·斯通（Michael Stone），填充玻色海：对称量子霍尔边态和仿射特征，arXiv:cond-mat/0409369【cond-mat.mes-hall】，2004年；《物理学杂志A：数学与普通》38.3（2005）：617发件人N.J.A.斯隆2014年4月24日
C.贝森罗德，关于部件逐渐减少的成对隔板J.Combin.理论，A 99（2002），162-174。MR1911463（2003年第11133页）。
A.凯利，椭圆函数变换回忆录《伦敦皇家学会哲学汇刊》，164（1874），第397-456页，见第424页和第430页。
M.D.Hirschorn和J.A.Sellers，过分为奇数部分的算法性质《组合数学年鉴》第10卷第3期（2006年），第353-367页。
米尔恰·梅尔卡，除数生成函数的一种新见解《数论杂志》，第149卷，2015年4月，第57-69页。参见第66页的q-bar（n）。
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公式
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f（q）/f（-q）的q次幂展开式，其中f（）是Ramanujanθ函数。
（1-k^2）^（-1/8）=k'^（-1-4）的幂展开式q=exp（-Pi k'/k）。
eta（q^2）^3/（eta（q^4）*eta（q）^2）的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[2，-1，2，0，…]。
（θ3（q）/θ4（q））^（1/2）=（φ（q）/phi（-q））。
通用公式：A（x）=exp（2*sum_{n>=0}sigma（2*n+1）/（2*n+1）*x^（2*n+1））-保罗·D·汉纳2004年3月1日
G.f.满足：A（-x）=1/A（x），（A（x）+A（-x））/2=A（x^2）*A（x*4）^2，A（x-保罗·D·汉纳2004年3月27日
另一个g.f.：1/product_{k>=1}（1+x^（2*k））*（1-x^-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月29日
G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^3）），其中f（u，v）=（u-v^3）*（v+2*u^3）-u*（u^3-v）-迈克尔·索莫斯2011年8月3日
G.f.A（x）满足0=f（A（x（x），A（x^5）），其中f（u，v）=（u^2-v^2）^6-16*u^2*v^2*（1-u^8）*（1-v^8）-迈克尔·索莫斯，2011年5月12日
G.f.A（x）满足0=f（A（x（x），A（x^7）），其中f（u，v）=（1-u^8）*（1-v^8）-（1-u*v）^8-迈克尔·索莫斯2006年1月1日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（32t））=2^（-1/2）G（t），其中q=exp（2Pi i t），G（）是A029838号. -迈克尔·索莫斯2011年8月3日
G.f.：（θ_3/θ_4）^（1/2）=（（Z}x^（k^2）中的和_{k）/（Z}（-x）^。
G.f.：产品{k>=1}（1+x^（2*k-1））*（1+x^k）=产品{k>=1}。
通用公式：1+2*x/（1-x）+2*x^3*（1+x）/。。。【Glaisher 1876】-迈克尔·索莫斯2012年6月20日
G.f.：1/（1-2*x/（1+x-（x^2-x^4）/（1+x^3-（x^3-x^7）/（1+x^5-（x^4-x^10）/（1-x^7-…））））[上釉器1878]-迈克尔·索莫斯，2012年6月24日
经验：和{n>=0}exp（-Pi）^n*a（n）=2^（1/8）-西蒙·普劳夫2011年2月20日
经验：和{n>=0}（-exp（-Pi））^n*a（n）=1/2^（1/8）-西蒙·普劳夫2011年2月20日
a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（n/2））/-瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年8月23日，2017年1月9日延期
西蒙·普劳夫的经验观察是正确的。此外，对于每一个正有理p，Sum_{n>=0}exp（-Pi*sqrt（p））^n*a（n）=1/（Sum__{n>=0}（-exp（-Pi*sqrt（p），）^n*1（n））是一个代数数（参见MathOverflow链接）-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年11月23日
通用函数：f（x，x^3）/f（-x，-x^3”）=（求和{n=-oo..oo}x^（n*（2*n-1））/(
Sum_{n=-oo..oo}（-1）^n*x^（n*（2*n-1）），其中f（a，b）=Sum__{n=-oo..oo}a^（n*（n+1）/2）*b^（n*（n-1）/2）是Ramanujan的2变量θ函数-彼得·巴拉2021年2月5日
G.f.A（q）=（-lambda（-q）/lambda（q））^（1/8），其中lambda。。。是以nome q=exp（i*Pi*t）的幂表示的椭圆模函数A115977号；lambda（q）=k（q）^2，其中k（q）=（θ2（q）/θ3（q））^2是椭圆模量-彼得·巴拉2023年9月26日
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例子
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G.f.=1+2*q+2*q^2+4*q^3+6*q^4+8*q^5+12*q^6+16*q^7+22*qq^8+30*q^9+。。。
F（x）：=乘积_｛n>=0｝（1+x^（2*n+1））/（1-x^（2*n+1））。
F（1/（2*n））的简单连分式展开：
n=2[1；1，2，1，1，1，1，2，1，2，33，1，3，7，4，33，1，8，4，2，1，…]
n=3[1；2，2，2
n=4[1；3，2，3，1，3，2
n=5[1；4，2，4，1，4，2
n=6[1；5，2，5，1，5，2
n=7[1；6，2，6，1，6，2
n=8[1；7，2，7，1，7，2
n=9[1；8，2，8，1，8，2
第10个分母的序列[33110259504，…]似乎由多项式4*n^3+n-1给出。
从n=4开始，第15个分母[15,78,23110,31142，…]的序列在n中似乎是拟多项式，具有组成多项式4*n-1和16*n-2。
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
b（n，i-2）+加（2*b（n-i*j，i-2，j=1..n/i））
结束：
a： =n->b（n，n-1+irem（n，2））：
#使用f（x，x^3）/f（-x，-x^3
带（gfun）：级数（加（x^（n*（2*n-1）），n=-8..8）/加（（-1）^n*x^#彼得·巴拉2021年2月5日
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数学
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a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[（1-m）^（-1/8），{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年8月3日*）
a[n_]：=系列系数[（椭圆θ[3，0，q]/椭圆θ[4，0，q]）^（1/2），{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年8月3日*）
a[n_]：=级数系数[QPochhammer[-q]/QPochharmer[q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月10日*）
a[n]：=级数系数[QHypergeometricPFQ[{-1}，{}，q^2，q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月10日*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，b[n、i-2]+和[2*b[n-i*j，i-2]，{j，1，n/i}]]；
a[n]：=b[n，n-1+Mod[n，2]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a，m）；如果（n<0，0，m=1；a=1+2*x+O（x^2）；while（m<n，m*=2；a=子集（a，x，x^2；
（PARI）a（n）=polceoff（exp（2*sum（k=0，n\2，sigma（2*k+1）/（2*k+1）*x^（2*k+1）），n）/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^3/（eta/*迈克尔·索莫斯2005年7月7日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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