数字根定理的证明。作者：Cino hilliard 2003年1月10日如果9除以x或其余数，则整数x的数字根为9x/9，如果9不除以x。证明：案例1。9不除以x我们把x写成10次幂的多项式，其中d（i）是x的数字。（1） x=10^n*d（n）+10^（n-1）*d（n-1d（0）减去数字d（n）+d（n-1）+的和+两侧d（0）（2） x-（d（n）+d（n-1）+。。。d（0））=d（n）（10^n-1）+d（n-1）。。。d（1）（10-1）由于i=1到n的9除以10^i-1，（2）意味着9除以（3） x-sum（d（i））=9z。这意味着，如果9不除以x，那么9不除以和（d（i））。类似地，如果9除以和（d（i））9除以x（去掉九的性质）。所以我们有（4） x=9k+r（5） 总和（d（i））=9l+s其中r<9，s<9。将（4）和（5）代入（3），我们得到（6） 9k-9l+r-s=9z。这意味着9除r-s，其中r-s=0另外，r=s r>=9与条件r<9相矛盾。到目前为止，我们已经表明x/9的其余部分与总和（d（i））/9的余数。现在我们用多项式形式表示和（d（i））就像我们在（1）中对x所做的那样。（1.1）总和（d（i））=10^m*d1（m）+10^（m-1）*d1d1（0）使用与（1）到（3）中相同的参数，我们得到（2.1）总和（d（i））-（d1（m）+d1（m-1）+。。。d1（0））=d1（m）（10 ^ m-1）+d1（m-1）（10μm-1）+。。。d1（1）（10-1）由于i=1到m的9除以10^i-1，（2.1）意味着9除以（3.1）总和（d（i））-总和（d1（i）这意味着如果9不除和（d（i）），那么9不除总和（d1（i））。类似地，如果9除以和（d（i）），那么9除以和。所以我们有（4.1）总和（d（i））=9l+s来自（5）（5.1）总和（d1（i））=9z1+s1其中s<9，s1<9。将（4.1）和（5.1）代入（3.1），我们得到（6.1）9l-9z1+s-s1=9z1。这意味着9除s-s1，这意味着s-s1=0和s=s1=r，否则s>=9与条件s<9相矛盾。显然，我们可以重复这个过程1.j到6.j，直到总和（dj（i））是一位数。然后求和（dj（i））=sj=r=x/9的余数。这就完成了情况1。案例2。9除以x。使用与案例1类似的参数，我们注意到如果数字之和x=9k，则在有限步数后，数字之和将减少为一位数=9。显然，自素数<>9k以来，素数永远不会发生这种情况。