%I#214 2023年11月17日12:21:19

%S 1,1,2,1,3,3,1,4,6,4,1,5,10,10,5,1,6,15,20,15,6,1,7,21,35,21,7,1,8，

%电话28,56,70,56,28,8,1,9,36,84126126,84,36,9,10,45120210252210，

%U 120,45,10,11,55165330462462330165,55,11

%N帕斯卡三角形（A007318）的运行和，或由斩首行读取的斩首帕斯卡三角。

%这个序列计算n的“几乎三角形”分区。如果分区的形式是0+1+2++k.示例：3=0+1+2，6=0+1+3。“几乎三角形”分区是一个三角形分区，每个部分最多加一个。示例：7=1+1+2+3=0+2+2+3=0+1+3+3=0+1+3+3=0+1+2+4。因此，a（7）＝4。8=1+2+2+3=1+1+3+3=1+1+2+4=0+2+3=0+2+2+4=0+1+3+4所以a（8）=6_Moshe Shmuel Newman，2002年12月19日

%C如马丁·加德纳（Martin Gardner）所定义的，“几乎三角形”分区是通过“保加利亚纸牌”操作循环的分区。

%C从A007318-I（I=单位矩阵）开始，然后删除零的右边界_Gary W.Adamson_，2007年6月15日

%另外，将非循环函数的数目从{1..n-k+1}增加到{1..n+2}。如果对于域的每个子集B，B在f下的图像不等于B，则函数f是非循环的。例如，T（3,1）=4，因为从{1,2,3}到{1,2,3,4,5}正好有4个递增的非循环函数：f1＝{（1,2），（2,3），（3,4）}，f2＝{（1,2），（2,3），（3,5）}，f3＝{（1,2），（2,4），（3,5）}和f4＝{（1,3），（2,4），（4,5）}。-_Dennis P.Walsh，2008年3月14日

%C第二贝努利多项式（来自A164555而非A027641）B2（n，x）=1；1/2, 1; 1/6, 1, 1; 0, 1/2, 3/2, 1; -1/30, 0, 1, 2, 1; 0，-1/6，0，5/3，5/2，1。则（B2（n，x）/A002260）=1；1/2, 1/2; 1/6, 1/2, 1/3; 0, 1/4, 1/2, 1/4; -1/30, 0, 1/3, 1/2, 1/5; 0, -1/12, 0, 5/12, 1/2, 1/6; ... . 参见（摘自Faulhaber 1631）A159688中的Jacob Bernoulli Summae Potestatum（权力总和）。逆多项式为1-1, 2; 1, -3, 3; -1, 4, -6, 4; ... = A074909，带负偶数对角线。反射A053382/A053383=反射B（n，x）=RB（n，x）=1-1/2, 1; 1/6, -1, 1; 0, 1/2, -3/2, 1; ... . A074909是RB（n，x）/A002260=1的逆-1/2, 1/2; 1/6, -1/2, 1/3; 0, 1/4, -1/2, 1/4; ... . - _保罗·柯茨（Paul Curtz），2010年6月21日

%C A054143是由p（n，x）=x^n+x^（n-1）+…+给出的多项式序列（p（n），x）的裂变x+1通过多项式序列（（x+1）^n）。裂变的定义见A193842_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2011年8月7日

%C A135278的反转。-_Philippe Deléham，2012年2月11日

%C关于Pascal-like三角形任意左右边界的闭合公式，请参见A228196_Boris Putievskiy_，2013年8月19日

%C关于广义帕斯卡三角形的闭合公式，见A228576_Boris Putievskiy_，2013年9月9日

%C根据A238363，算符方程d/d（：xD:）f（xD）={exp[d/d。选择f（x）=x^n并使用：xD:^n/n！=二项式（xD，n）和（xD）^n=Bell（n，：xD:），A008277的Bell多项式，如下所示，下三角矩阵[填充A074909]

%C A）=[St2]*[dP]*[St1]=A048993*A132440*[填充A008275]

%C B）=[St2]*[dP]*[St2]^（-1）

%C）=[St1]^（-1）*[dP]*[St1]，

%其中[St1]=带衬垫的A008275，正如[St2]=带衬垫的A048993=带衬垫的A008277，而[带衬垫的A074909]=带I的A007318-I=身份矩阵。-Tom Copeland_，2014年4月25日

%C T（n，k）是在奇数m具有“顶点到边”版本或偶m具有“点到顶点”版本的情况下由m-gon展开生成的。请参阅A061777和A101946中的三角形展开（以及它们的m-gon对应项），它们分别是“顶点到顶点”和“顶点到边”版本。每个迭代的标签值可以安排为三角形。任意m-gon也可以安排为相同的三角形，条件是：（i）m是奇数，展开是“点对边”版本，或（ii）m是偶数，展开为“点对点”版本。m*Sum_{i=1..k}T（n，k）给出了第n次迭代时的总标签值。另见A247976。顶点到顶点：A061777、A247618、A2476.19、A247620。顶点到侧面：A101946、A247903、A24790%、A2479005_Kival Ngaokrajang _ 2014年9月28日

%C来自Tom Copeland，2014年11月12日：（开始）

%C当P（n，x）=[（x+1）^（n+1）-x^。

%伯努利多项式的例如f.是[t/（e^t-1）]e^（x*t），而Up（n，x）的是exp[Up（.，x）t]=[（e^t-1）/t]e^（x*t）。

%C另一个g.f.是g（t，x）=log[（1-x*t）/（1-（1+x）*t）]=log[1+t/（1+-（1+x）t）]=t/（1-t*Up（.，x））=Up（0，x）*t+Up（1，x）*t^2+Upt+（1+2x）/2t^2+（1+3x+3x^2）/3t^3+（1+4x+6x^2+4x^3）/4t^4+…=-log（1-t*P（.，x）），用本影表示。

%C从Copeland的公式列表（2014年9月）中可以在A008292中找到g.f.的逆函数Ginv（t，x），其中a=（1+x）和b=x。这将这两组多项式与代数几何联系起来，例如椭圆曲线、三角展开式、切比雪夫多项式以及置换面体及其对偶的组合。

%基尼系数（t，x）=[e^（（1+x）t）-e^（xt）]/[（1+x）*e^（1+6x+6x^2）t^3/3！-（1+14x+36x^2+24x^3）t^4/4！+…=-exp[-Perm（.，x）t]，其中Perm（n，x）是置换面体的反向面多项式或反向f向量，即置换面体对偶的面多项式。参见A090582、A019538、A049019、A133314、A135278。

%C，L（t，x）=t/（1+t*x），t中为逆L（t、-x），Cinv（t）=e^t-1，C（t）=log（1+t）。那么Ginv（t，x）=L[Cinv（t），（1+x）]和G（t，x）=C[L[t，-（1+x）]]。注L是特殊的线性分式（Mobius）变换。

%C置换面体、单纯形（参见A135278）和结合面体的组合体之间的联系可以通过将A133437的拉格朗日反演公式（LIF）应用于G（t，x）（参见A111785和Schroeder路径A126216）来实现，同样，将LIF A134685应用于涉及单纯形Whitehouse复合体的Ginv（t，x），系统发育树和其他结构。（另请参见LIF A145271和A133932）。（结束）

%C R=x-exp[-[B（n+1）/（n+1。伯努利多项式的提升算子是x+exp[-[B（n+1）/（n+1）]D]。【2014年11月25日添加的注释：exp【zeta（-n）D】是exp（a.D）的缩写，带有（a.）^n=a_n=zeta（-n）】_Tom Copeland_，2014年11月17日

%C对角线T（n，n-m），对于n>=m，给出正整数的第m次迭代部分和；即A000027（n+1）、A000217（n）、A00292（n-1）、A000332（n+1_Wolfdieter Lang，2015年5月21日

%C转置给出了一般线性群GL（n，1）的Maurer-Cartan形式矩阵的数值系数（参见Olver，但注意第6页底部的公式有一个错误——12应该是15）_Tom Copeland_ 2015年11月5日

%C关于GL^n（1）群的Olver论文第7页上的左不变Maurer-Cartan形式多项式本质上是该条目的行多项式与A133314的行多项式的二项式卷积，或者等价于该条目的e.g.f.与A133316的行多项式乘积生成的行多项式，并进行了一些重新索引_Tom Copeland_，2018年7月3日

%C来自Tom Copeland，2018年7月10日：（开始）

%逆矩阵的第一列是伯努利数序列，它来自于伯努利多项式（B.（0）+x）^n=B_n（x）的本影定义，在x=1处求值，对于n>1和-B_1（0）=1/2=B_1（1），因此，伯努利数可以使用作用于该条目矩阵的克莱默规则计算，因此，可以根据由该条目的平方子矩阵列确定的平行六面体的体积比计算_汤姆·科普兰，2018年7月10日

%C Umbrall用B_n（x）组成行多项式，即Bernoulli多项式，得到（B.（x）+1）^（n+1）-（B.（x））^。然后，该项的逆矩阵有元素B_（n，k）/（k+1），其中B_（n，k）是B_n（x）的x^k系数，例如f.（1/x）（e^（xt）-1）/（e^t-1）。（结束）

%H Reinhard Zumkeller，<a href=“/A074909/b074909.txt”>三角形的行n=0..150，扁平</a>

%H Feryal Alayont和Evan Henning，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Alayont/ala4.html“>毛毛虫的边缘覆盖、带悬挂器的循环和蜘蛛图</a>，《国际期刊》（2023）第26卷，第23.9.4条。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1805.02274“>关于Riordan阵列定义的类帕斯卡三角形的f-矩阵，arXiv:1805.02274[math.CO]，2018。

%H Tom Copeland，<a href=“https://tcjpn.wordpress.com/2014/12/23/appell-ops-cumulants-noncrossing-partitions-dyck-lattice-paths-and-inversion“>Appell多项式、累积量、非交叉分区、Dyck晶格路径和反演，2014年。

%H Tom Copeland，<a href=“http://tcjpn.wordpress.com/2015/12/21/generators-inversion-and-matrix-binominal-and-integration-transforms/“>生成器、反演、矩阵、二项式和积分变换，2015年。

%H塞拉油炸，<a href=“https://arxiv.org/abs/2202.13061“>函数组成的预期不可逆程度和相关的组合恒等式，arXiv:22022.13061[math.CO]，2022。

%H J.R.Griggs，<a href=“http://dx.doi.org/10.1006/aama.1998.0597“>重复移位下的分区和组成的循环</a>，《应用数学进展》，第21卷，第2期，1998年8月，第205-227页。

%H P.Olver，<a href=“网址：http://www.math.umn.edu/~olver/di_/contact.pdf“>规范联系形式</a>第7页。

%H D.P.Walsh，<a href=“http://www.mtsu.edu/~dwalsh/ACYCINCR.pdf“>关于增加非循环函数的简短说明</a>

%F T（n，k）=和{i=0..n}C（i，n-k）=C（n+1，k）。

%F行n具有g.F.（1+x）^（n+1）-x^（n+1）。

%F E.g.F.：（（1+x）*E^t-x）E^（x*t）。行多项式p_n（x）满足dp_n（x）/dx=（n+1）*p_（n-1）（x）_汤姆·科普兰，2018年7月10日

%F T（n，k）=T（n-1，k-1）+T

%F T（n，k）=T（n-1，k）+2*T（n-l，k-1）-T

%F G.F.对于k列（带前导零）：x^（k-1）*（1/（1-x）^（k+1）-1），k>=0.-_Wolfdieter Lang，2014年11月4日

%F Up（n，x+y）=（Up（.，x）+y）^n=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）Up（k，x）*y^（n-k），其中Up（n，x）=（（（x+1）^（n+1）-x^（n+1））/（n+1）=P（n，x）/（n+1），其中P（n，x）是该项的第n行多项式。dUp（n，x）/dx=n*向上（n-1，x）和dP（n，x）/dx=（n+1）*P（n-1、x）_汤姆·科普兰，2014年11月14日

%F o.g.F.GF（x，t）=x/（（1-t*x）*（1-（1+t）x））=x+（1+2t）*x^2+（1+3t+3t^2）*x*3+。。。在x约为0的情况下，具有逆GFinv（x，t）=（1+（1+2t）x-sqrt（1＋（1+2t*2x+x^2））/（2t（1+t）x），从而生成A033282的行多项式（mod行符号）。o.g.f.的倒数，即x/GF（x，t），给出了自由累积量（1，-（1+2t），t（1+t），0，0，…）与GFinv定义的矩相关，事实上，这些自由累积量通过A134264的非交叉分区生成这些矩。A248727中描述了相关的例如f.和Grassmannians的关系，其多项式是Appell多项式序列的基础，这些多项式是由该条目的多项式形成的Appell序列的阴影成分倒数（与上述注释中描述的不同，没有标准化倒数）_Tom Copeland_ 2015年1月7日

%F T（n，k）=（1/k！）*Sum_{i=0..k}斯特林1（k，i）*（n+1）^i，对于0≤k≤n.-Ridouane Oudra，2022年10月23日

%e T（4,2）=0+0+1+3+6=10=二项式（5,2）。

%e三角形T（n，k）开始：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

%电子0:1

%e 1：1 2

%e 2:1 3 3

%电子3:1 4 6 4

%电子4:1 5 10 10 5

%电子邮箱5:1 6 15 20 15 6

%电子邮箱6:1 7 21 35 35 21 7

%电子邮箱7:1 8 28 56 70 56 28 8

%电子邮箱：1 9 36 84 126 126 84 36 9

%电子邮箱：1 10 45 120 210 252 210 120 45 10

%电子邮箱：1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

%e 11:1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12

%e。。。重新格式化。-_Wolfdieter Lang，2014年11月4日

%e、。

%e可以被视为方阵A（n，k）=二项式（n+k+1，n），通过降序反对偶读取。A（n，k）是单调非递减函数f:{1,2，..，k}->{1,2、..，n}.-的数目_Peter Luschny_，2019年8月25日

%e[0]1，1，1。。。A000012号

%e[1]2，3，4，5，6，7，8，9，10。。。A000027号

%e[2]3、6、10、15、21、28、36、45、55。。。A000217号

%e[3]4、10、20、35、56、84、120、165、220。。。A000292号

%电子[4]5、15、35、70、126、210、330、495、715。。。A000332号

%e[5]6、21、56、126、252、462、792、1287、2002。。。A000389号

%电子[6]7、28、84、210、462、924、1716、3003、5005。。。A000579号

%电子[7]8、36、120、330、792、1716、3432、6435、11440。。。A000580型

%e[8]9、45、165、495、1287、3003、6435、12870、24310。。。A000581号

%电子[9]10、55、220、715、2002、5005、11440、24310、48620。。。A000582号

%p A074909:=进程（n，k）

%p如果k>n或k<0，则

%p 0；

%p其他

%p二项式（n+1，k）；

%p end if；

%p end proc:#_Zerinvary Lajos_，2006年11月9日

%t展平[Join[{1}，Table[Sum[Binominal[k，m]，{k，0，n}]，{n，0，12}，{m，0，n}]]（*或*）展平[Join[{1}，Table[Binominal[n，m]

%o（哈斯克尔）

%o a074909 n k=a074909_tabl！！不！！k个

%o a074909_row n=a074909 _ tabl！！n个

%o a074909_tabl=迭代

%o（\row->zipWith（+）（[0]++行）（行++[1]））[1]

%o——Reinhard Zumkeller，2012年2月25日

%o（PARI）打印1（1）；对于（n=1,10，对于（k=1，n，print1（“，”二项式（n，k）））

%o（GAP）平面（列表（[0..10]，n->列表（[0..n]，k->二项式（n+1，k）））；#_Muniru A Asiru_，2018年7月10日

%o（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n+1，k）：k in[0..n]]：n in[0..15]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2018年7月22日

%Y参考A007318、A181971、A228196、A228576。

%Y行总和为A000225，对角线总和为A052952。

%Y非循环函数的数量为A058127。

%Y参考A008292、A090582、A019538、A049019、A133314、A135278、A133437、A111785、A126216、A134685、A133932、A248727、A033282、A134264。

%Y参见A000027、A000217、A000292、A000332、A000389、A000579、A000580、A000581、A000582。

%Y参考A325191。

%K轻松，不，tabl

%0、3

%2002年10月1日举行的对外会议

%在鲍尔·巴里的建议下，我添加了一个首字母1，这使三角形更好一些，但可能意味着现在需要调整一些公式_N.J.A.Sloane，2003年2月11日

%E公式部分由_Wolfdeater Lang_编辑、检查和更正，2014年11月4日