%I#91 2022年1月8日22:04:06

%S 1,4,2213688659444063628148819689341387554498365972700701808，

%电话：50113719643596180843225880599775218671756311361350088649734，

%电话：9779485066895270962628141507651570242316456163752820913745851627316361910260641994448720786816712

%N定义一个数组，如下所示：b（i，0）=b（0，j）=1，b（i、j）=2*b（i-1，j-1）+b。则a（n）=b（n，n）。

%C2^n*LegendreP（n，k）得到了（1+2*k*x+（k^2-1）*x^2）^n的中心系数，其中g.f.1/sqrt（1-4*k*x+4*x^ 2），例如f.exp（2*k*x）BesselI（0,2*sqrt（k^2-2）*x）_保罗·巴里，2005年5月25日

%C从（0,0）到（n，n）的Delannoy路径数，步骤U（0,1）、H（1,0）和D（1,1），其中D可以有两种颜色_保罗·巴里，2005年5月25日

%C另外，使用步骤U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），从（0,0）到（n，0）的路径数，U步骤可以有三种颜色，H步骤可以有四种颜色_N-E.Fahssi，2008年3月31日

%C使用步骤（1,0）、（0,1）和两种步骤（1,1）从（0,0）到（n，n）的晶格路径数_Joerg Arndt_2011年7月1日

%汉克尔变换是2^n*3^C（n+1,2）=（-1）^C（n+1,2，）*A127946（n）_保罗·巴里（Paul Barry），2011年1月24日

%C三角形A152842.-的中心项_Reinhard Zumkeller_，2014年5月1日

%C有理函数的对角线1/（1-x-y-2*x*y），1/（1-x-y*z-2*x*y*z）_Gheorghe Coserea，2018年7月6日

%C高斯同余a（n*p^k）==a（n^p^（k-1））（mod p^k

%D Lin Yang和S.-L.Yang，参数Pascal菱形。小谎。问：57:4（2019），337-346。

%H Arkadiusz Wesolowski，<a href=“/A069835/b069835.txt”>n的表，a（n）表示n=0..250</a>

%H Paul Barry和Aoife Hennessy，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry2/barry190r.html“>Generalized Narayana Polynomials，Riordan Arrays，and Lattice Paths</a>，Journal of Integer Sequences，Vol.15，2012，#12.4.8_N.J.A.Sloane，2012年10月8日

%H Hacène Belbachir和Abdelghani Mehdaoui，<a href=“https://doi.org/10.2989/16073606.2020.1729269“>与二项系数平方和相关的递归关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。

%H Hacène Belbachir、Abdelghani Mehdaoui和LászlóSzalay，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL22/Szalay/szalay42.html“>帕斯卡金字塔中的对角线和，II：应用，J.Int.Seq.，第22卷（2019年），第19.3.5条。

%H Tony D.Noe，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Noe/noe35.html“>关于广义中心三项式系数的可除性，整数序列杂志，第9卷（2006），第06.2.7条。

%H Franck Ramaharo，<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.07701“>关于某些类别结阴影的统计</a>，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018。

%F From _Vladeta Jovovic，2003年5月13日：（开始）

%F a（n）=2^n*LegendreP（n，2）=2^n*超几何（[-n，n+1]，[1]，-1/2）=2^ n*GegenbauerC（n，1/2，2）=Sum_{k=0..n}3^k*二项式（n，k）^2。

%具有递归的D有限：a（n）=4*（2*n-1）/n*a（n-1）-4*（n-1。

%总建筑面积：1/sqrt（1-8*x+4*x^2）。（结束）

%F a（n）等于（1+4*x+3*x^2）^n的中心系数

%例如：exp（4*x）*Bessel_I（0，2*sqrt（3）*x）_Paul Barry，2004年9月20日

%F a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，k）*C（2*（n-k），n）*（-1）^k*2^（n-2*k）.-_保罗·巴里，2005年5月25日

%F a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（n+k，k）x2^（n-k）.-_保罗·巴里，2005年5月25日

%F a（n）=和{k=0..n}C（n，k）^2*3^k.-鲍尔·巴里，2005年10月15日

%F G.F.：1/（1-4x-6x^2/（1-4-3x^2/（1-4x-3x^2/（1-4x3x^ 2/（1-……（连分数））_保罗·巴里2011年1月24日

%F渐近：a（n）~sqrt（1/2+1/sqrt（3））*（1+sqrt_瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年9月11日

%2020年4月21日，Z.-Michael Somos_中所有n的F 0=a（n）*（16*a（n+1）-48*a（n+2）+8*a（n+3））+a（n+1）*（-16*a（n+1）+64*a

%e数组b是A081577的重写：

%e 1，1，1。。。

%e 1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31。。。

%e 1、7、22、46、79、121、172、232、301、379、466。。。

%e 1、10、46、136、307、586、1000、1576、2341、3322、4546。。。

%e 1、13、79、307、886、2086、4258、7834、13327、21331、32521等。。。

%t表[Hypergeometric2F1[-n，-n，1，3]，{n，0，21}]（*_Arkadiusz-Wesolowski_，2012年8月13日*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）^2*3^k）

%o（PARI）a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+4*x+3*x^2）^n，n））

%o（PARI）/*作为晶格路径：与A092566中相同，但使用*/

%o步长=[[1,0]，[0,1]，[1,1]，[1,1]]；/*注意双[1,1]*/

%2011年7月1日，Joerg Arndt_

%o（PARI）a（n）=pollegendre（n，2）2017年3月18日

%o（哈斯克尔）

%o a069835 n=a081577（2*n）n---Reinhard Zumkeller_，2014年3月16日

%o（GAP）列表（[0..25]，n->总和（[0..n]，k->二项式（n，k）^2*3^k））；#_Muniru A Asiru_，2018年7月29日

%Y参考A001850。

%K nonn，简单

%0、2

%2002年5月3日，A _贝尼特·克洛伊特