%I#125 2023年12月1日06:14:03

%S 0,0,0,1,0,1,1,0,2,1,1,1,1,1,1,3,0,12,1,1,1,3,1,1,2,1,3,1,2,2,1,3,3，

%温度1,3,2,1,1,3,1,3,1,1,5,1,1,2,2,3,1,2,3,1,1,1,3,3,1,1,1,5,0,3,1，

%U 1,3,3,1,2,1,5,1,3,1,1,4,1,3,1,3,1,1,5,3,1,3,1,5,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,1,1,2,5,2

%N a（N）=-1+N的奇数除数。

%C将n写为至少两个连续整数之和的非平凡方法的数目。也就是说，我们没有计算平凡解n=n。例如，a（9）=2，因为9=4+5和9=2+3+4。a（8）=0，因为没有整数m和k，因此m+（m+1）+…+（m+k-1）=8，除k=1外，m=8_阿尔弗雷德·海利根布鲁纳（Alfred Heiligenbrunner），2004年6月7日

%C也是连续正整数序列的和数，不包括长度为1的序列（例如，9=2+3+4或4+5，因此a（9）=2）。（对婴儿床选手很有用。）-迈克尔·吉兰德，2002年12月29日

%C设M为任意正整数。那么a（n）=M^n+1的适当除数，形式为M^k+1。

%C这个序列给出了三角数Ti的明显差异，即n：n=Ti-Tj；如果n=2^k，则无。如果系数a=n或a>（n/a-1）/2：i=n/a+（a-1）/2；j=不适用-（a+1）/2。否则：i=n/2a+（2a-1）/2；j=n/2a-（2a-1）/2。示例：7是质数；7=T4-T2=（1+2+3+4）-（1+2）（a=7；n/a=1）。35的奇数因子为35、7和5；35=T18-T16（a=35）=T8-T1（a=7）=T5-T7（a=5）。144=T20-T11（a=9）=T49-T46（a=3）M.Dauchez（mdzzdm（AT）yahoo.fr），2005年10月31日

%C也是n的分区数，形式为1+2+。。。（k-1）+k+k+…+对于某些k>=2。例如：a（9）=2，因为我们有[2，2，2，1]和[3，3，2，2]_Emeric Deutsch，2006年3月4日

%C a（n）是n的非平凡runsum表示数，也称为n的礼貌

%C还有2除以n的非幂数，除以2除以n，n>0的幂数_Omar E.Pol_，2019年8月24日

%C a（n）仅取决于A000265（n）的主签名_David A.Corneth，2020年5月30日，由Charles R Greathouse IV更正，2021年10月31日

%D Ronald L.Graham、Donald E.Knuth和Oren Patashnik，《混凝土数学》，第二版，Addison-Wesley，1994年，见第65页练习2.30。

%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=0..10000的a（n）</a>

%H Tom M.Apostol，<a href=“http://www.jstor.org/stable/3620570“>连续正整数之和，《数学公报》，第87卷，第508号，（2003年3月），第98-101页。

%H Alfred Heiligenbrunner，<a href=“http://ah9.at/ahsummen.htm“>相邻数字之和</a>（德语）。

%H Henri Picciotto，<a href=“http://www.mathedpage.org/teers/staircases.pdf“>楼梯</a>。

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Polite_number“>礼貌号码</a>。

%F a（n）=0当且仅当n=2^k。

%F a（n）=A0001227（n）-1。

%F a（n）=1当且仅当n=2^k*p，其中k>=0且p是奇素数_蚂蚁王，2010年11月20日

%F G.F.：总和（k>=2，x^（k（k+1）/2）/（1-x^k））_Emeric Deutsch，2006年3月4日

%F如果n=2^k p1^b1 p2^b2。。。pr^br，则a（n）=（1+b1）（1+b2）。。。（1+br）-1.-_蚂蚁王，2010年11月20日

%F Dirichlet g.F.：（泽塔）*（1-1/2^s）-1）*泽塔_杰弗里·克里泽尔，2015年2月15日

%F a（n）=（A000005（n）-A001511（n））/A001511_Omar E.Pol_，2019年8月24日

%F G.F.：和{k>=1}x^（3*k）/（1-x^_伊利亚·古特科夫斯基，2020年5月30日

%F来自_David A.Corneth_，2020年5月30日：（开始）

%F a（2*n）=a（n）。

%F a（n）=A001227（A000265（n））-1。（结束）

%F求和{k=1..n}a（k）~n*log（n）/2+（gamma+log（2）/2-3/2）*n，其中gamma是欧拉常数（A001620）_Amiram Eldar，2023年12月1日

%e a（14）=1，因为14的除数是1、2、7、14，其中两个是奇数，即1和7，以及-1+2=1。

%e a（15）=3，因为15的除数是1、3、5、15，其中四个都是奇数，并且-1+4=3。

%e a（16）=0，因为16只有一个奇数除数，并且-1+1=0。

%e使用蚂蚁金公式：a（90）=5等于90=2^1*3^2*5^1，因此a（90=（1+2）*（1+1）-1=5_Giovanni Ciriani，2013年1月12日

%电子x^3+x^5+x^6+x^7+2*x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+。。。

%e a（120）=3作为120的奇数除数是15的奇数除数，作为120=15*2^3。15有4个奇数除数，因此得出a（120）=4-1=3_David A.Corneth，2020年5月30日

%p g：=总和（x^（k*（k+1）/2）/（1-x^k），k=2..20）：gser：=系列（g，x=0.115）：seq（系数（gser，x，n），n=0..100）；#_Emeric Deutsch_，2006年3月4日

%p A069283:=程序（n）

%p A001227（n）-1；

%结束程序：#R.J.Mathar_，2015年6月18日

%t g[n_]：=模[{dL=除数[2n]，dP}，dP=转置[{dL，2n/dL}]；选择[dP，（（1<#[[1]]<#[2]]）&&（Mod[#[1]]-#[2]，2]==1））&]]；表[长度[g[n]]，{n，1，100}]

%t表[Length[Select[Divisors[k]，OddQ[#]&]]-1，{k，100}]（*_Ant King_，Nov 20 2010*）

%t加入[｛0｝，Times@@@（#[[All，2]]和/@Replace[FactorInteger[Range[2，50]]，｛2，a_｝->｛2，0｝，无穷大]+1）-1]（*_Horst H.Manninger_，2021年10月30日*）

%o（哈斯克尔）

%o a069283 0=0

%o a069283 n=长度$尾部$a182469_row n

%o--_Reinhard Zumkeller_，2012年5月1日

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d%2）-1）}/*_Michael Somos_，2013年8月7日*/

%o（PARI）a（n）=numdiv（n>>估值（n，2））-1\\ David a.Corneth，2020年5月30日

%o（岩浆）[0]cat[1+#[d:d in Divisor（n）|IsOdd（d）]:n in[1..100]]；//_Marius A.Burtea，2019年8月24日

%o（Python）

%o从sympy导入divisor_count

%o def A069283（n）：返回divisor_count（n>>（~n&n-1）.bit_length（））-1 if n else 0#_Chai Wah Wu_，2022年7月16日

%Y参见A000265、A001227、A001620、A062397、A057934、A138591、A182469。

%Y参考A095808（升序和降序连续整数之和）。

%K nonn，简单

%0、10

%A _Reinhard Zumkeller，2002年3月13日

%E编辑：_Vladeta Jovovic，2002年3月25日