%I#150 2023年9月19日10:12:39

%S 1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,3,2,1,1,1,4,3,3,1,1,5,4,6,3,1,1,6,5,10,6，

%T 4,1,1,7,6,15,10,10,4,1,1,1,8,7,21,15,20,10,5,1,1,9,8,28,21,35,20，

%U 15,5,1,1,10,9,36,28,56,35,15,6,1,1,11,10,45,36,84,56,70,35,21,6,1

%N T（N，k）=二项式（N-floor（（k+1）/2），floor（k/2））。按行读取三角形，对于0<=k<=n。

%C还有q=-1时的q-Stirling2数_Peter Luschny_，2020年3月9日

%C行和给出斐波那契数列。交替行和也是如此。

%C由p（-1，x）=p（0，x）=1，p（n，x）=x*p（n-1，x）+p（n-2，x）定义的多项式系数三角，对于n>=1_Benoit Cloitre_，2005年5月8日[用正确的偏移量重写。-_Wolfdieter Lang_，2020年2月18日]

%C A103631中三角形的另一个版本_Philippe Deléham，2009年1月1日

%C如果我们假设b（n）系数都等于1并且忽略第一列，则T（n，k）系数出现在Parks著名文章“使用Liapunov的第二种方法对Routh-Hurwitz稳定性准则的新证明”的附录2中。包括第一列在内的完整三角形为A103631_约翰·梅耶尔（Johannes W.Meijer），2011年8月11日

%C签名++--++。。。，使用f（x）-->x^2-2，根是混沌的，循环长度在A003558中按第n行显示。示例：给定行3，x^3+x^2-2x-1；根为（a=1.24697，…；b=-0.445041，…；c=-1.802937，…）。然后（假设使用种子b和x^2-2），我们得到轨迹-0.445041，…->-1.80193, ... -> 1.24697, ...; 匹配A003558（3）中的条目“3”_Gary W.Adamson，2011年9月6日

%C来自_加里·W·亚当森，2019年8月25日：（开始）

%C多项式和A003558中的项的根都可以通过使用以下加倍级数mod N程序从以下数字中获得：（可能会产生多行）。当轨迹生成一个已经使用的术语时，任何行都会结束。然后尝试下一个更高的奇数项，不要用作最左边的项，然后重复。

%例如，对于N=11，我们得到：（1，2，4，3，5），这表明当在4:（8和-3）之后遇到两个选择时，选择较小的（abs）项，=3。然后为下一行选择7（未使用）并重复算法；只有当轨迹产生新的项时才成功。但7也是（-4）mod 11和4。因此，我所称的“r-t表”（用于根轨迹）只有一行：（1，2，4，3，5）。推测：第一行中的项数等于A0003558，对应于N，即在这种情况下为5，周期为2。

%现在求多项式的根。选取N=7。多项式为x^3-x^2-2x+1=0，根1.8019…、-1.2469…和0.445…对应于2*cos（j*Pi/N）、N=7和j=（1、2和3）。项（1、2、3）是N=7的r-t项。对于11，r-t项为（1，2，4，3，5）。这意味着给定相应多项式的任何根，它们使用f（x）-->x^2-2循环，循环长度如A003558所示。由此生成的项为2*cos（j*Pi），其中j=（1，2，4，3，5）。检查：从2*j*Pi/N开始，j=1（1.9189…）。其他轨迹项为：-->1.6825…，-->0.83083…，-1.3097。。。；545...; （5个周期和循环，因为我们可以从任何常数开始）。奇数N的r-t表如下所示：

%C 3…………1

%C 5…………1、2

%C 7…………1、2、3

%C 9…………1、2、4

%C。。。。。。。。。。。。。。。3（单个项减少为“1”）（9有两行）

%C 11…………1、2、4、3、5

%C 13…………1、2、4、5、3、6

%C 15…………1、2、4、7

%C。。。。。。。。。。。。。。。。3，6（除以gcd得出（1，2））

%C。。。。。。。。。。。。。。。。5.（单子项减为“1”）

%C结果是15有3个因子（从3行开始），这些因子的值是前面的术语“N”，对应于每行中的r-t术语。因此，第一行是新的，第二行（1,2）对应于N=5，第3行中的“1”对应于N=3。这些系数是除15和1之外的值。注意，N的所有行中的所有未简化r-t项构成了一组完整的项1到（N-1）/2，没有重复。（结束）

%C来自_加里·W·亚当森，2019年9月30日：（开始）

%C 15的七次多项式的三个因子：（x^7-x^6-6x^5+5x^4+10x^3-6x^2-4x+1）可以通过求2*cos（j*Pi/1），j=（1，2，4，7）的根并找到相应的多项式，即x^4+x^3-4x^2-4-4x+1来确定。这是N=15的最小多项式，如（Lang）第46页的表2所示。此多项式的次数为4，对应于A003558中15的条目，=4。轨迹（3、6）和（5）是2*cos（j*Pi/15）的j值，它们是x^2-x-1（与五边形有关）的根，（x-1）与三角形有关。（结束）

%C来自_Gary W.Adamson_，2019年8月21日：（开始）

%C形式的矩阵M：（1在主对角线中，-1在次对角线，其余零）如果我们用f（x）-->M^2-2I替换（f（x

%C。。。。M^2-2I:[-1，-1，0；-1，0，-1；0，-1，0]，那么对于后者，

%C。。。。M^2-2I:[0，1，1；1，0，0；1，O，-1]。循环以周期3结束，因为下一个矩阵是（-1）*种子矩阵。与f（x）-->x^2-2的情况一样，3个混沌矩阵的本征值分别为（abs）1.24697、0.44504…和1.80193。。。此外，这3个矩阵的特征方程与下面三角形第4行的等式相同或不同：（x^3+x-2x-1），符号不同。（结束）

%C从Herb Conn收到，2004年1月：（开始）

%C设x=2*cos（2A）（A=角度）；然后

%C sin（A）/sin A=1

%C sin（3A）/sin A=x+1

%C sin（5A）/sin A=x^2+x-1

%C正弦（7A）/正弦A=x^3+x-2x-1

%Csin（9A）/sin A=x^4+x^3-3x^2-2x+1

%C。。。（签名为++--++…）。（结束）

%C或带重复对角线的Pascal三角形（A007318）。此外，由P_0（x）=1定义的多项式系数的三角形，对于n>=1，P_n（x”）=F_n（x）+F_（n+1）（x），其中F_n“x”是斐波那契多项式（参见A049310）：F_n”（x）=Sum_{i=0..floor（（n-1）/2）}C（n-i-1，i）*x^（n-2*i-1）_Vladimir Shevelev，2012年4月12日

%C矩阵求逆公式如下

%C1类；

%C 1，1；

%C 0，-1，1；

%C 0，1，-2，1；

%C 0，0，1，-2，1；

%C 0，0，-1，3，-3，1；

%C 0、0、0，-1、3、-3、1；

%C 0、0、0，1、-4、6、-4、1；

%C 0、0、0，1、-4、6、-4、1；

%C。。。除了与A124645相同的标志外_R.J.Mathar，2013年3月12日

%H Nathaniel Johnston，第0..100行，平铺</a>

%H Leonard E.Dickson，<a href=“https://doi.org/10.2307/2967797“>《规则多边形的铭文》，《美国数学月刊》，第1卷，第9期（1894年9月），第299-301页。

%H Henry W.Gould，<a href=“http://www.fq.math.ca/Scanned/3-4/gould.pdf“>帕斯卡三角的变体，《斐波纳契季刊》，第3卷，第4期，1965年12月，第257-271页，带有http://www.fq.math.ca/Scanned/4-1/corrections2.pdf“>更正</a>。

%H A.F.Horadam、R.P.Loh和A.G.Shannon，<A href=“https://doi.org/10.1007/BFb0102684“>一些斐波那契型序列的可除性</a>，组合数学VI（Armidale 1978）第55-64页，Lect.Notes Math.748，1979。见表4。

%H A.F.Horadam，R.P.Loh和A.G.Shannon，一些斐波那契型序列的可除性。数学笔记。748, 1979. [带注释的扫描副本]

%H Jay Kappraff，<a href=“https://doi.org/10.1142/4767“>Beyond Measure，A Guided Tour Through Nature，Myth and Number，《超越测量，穿越自然、神话和数字的引导之旅》，《世界科学》，2002年；第490页。

%H Jay Kappraff、S.Jablan、G.W.Adamson和R.Sazdanovich，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/228848220“>金田，广义斐波那契序列和混沌矩阵，FORMA，第19卷，第4期，2005。

%H Jay Kappraff和Gary W.Adamson，《多边形与混沌》，<a href=“http://www.tarupublications.com/journals/jdsgt/contents-of-published-issues.htm“>《动力系统与几何理论杂志》，第2卷（2004年），第65页。

%H托马斯·科西，<a href=“https://doi.org/10.1002/9781118033067“>Fibonacci和Lucas数及其应用，John Wiley and Sons，2001（第14章）

%H E.Munarini和N.Z.Salvi，<a href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/wpapers/s49zagaglia.html“>不带锯齿的二进制字符串</a>，Séminaire Lotharingien de Combinatoire，B49h（2004），15页。

%H Wolfdieter Lang，<a href=“http://arxiv.org/abs/1210.1018“>字段Q（2cos（pi/n）），其Galois群和正则n-gon中的长度比，arXiv:1210.1018[math.GR]，2012-2017。

%H P.C.公园http://dx.doi.org/10.1017/S030500410004072X“>使用Liapunov的第二种方法对Routh-Hurwitz稳定性准则的新证明，剑桥哲学学会数学学报，第58卷，第04期（1962年），第694-702页。

%H P.Steinbach，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2691048“>《金色田野：七角形案例》，《数学杂志》第70卷（1997年），第1期，第22-31页。

%H<a href=“/index/Pas#Pascal”>为与Pascal三角形相关的三角形和数组的条目建立索引</a>

%F T（n，k）=二项式（n-floor（（k+1）/2），floor（k/2））。

%F作为一个由反对偶读取的方阵，它由T1（n，k）=二项式（floor（n/2）+k，k）给出_保罗·巴里，2003年3月11日

%F三角形是A066170中的反映（绝对值）_加里·亚当森，2004年2月16日

%F递归：T（k，0）=1，T（k、n）=T（k-1，n）+T（k-2，n-2），或T_Ralf Stephan，2004年5月17日

%F G.F.：总和[n，总和[k，T（k，n）x^ky^n]]=（1+xy）/（1-y-x^2y^2）。sum[n>=0，T（k，n）y^n]=y^k/（1-y）^[k/2]。-_Ralf Stephan，2004年5月17日

%F T（n，k）=A108299（n，k）*A087960（k）=绝对值_Reinhard Zumkeller_，2005年6月1日

%F摘自Johannes W.Meijer，2011年8月11日：（开始）

%F T（n，k）=A046854（n，n-k）=abs（A066170（n，n-k））。

%F T（n+k，n-k）=A109223（n，k）。

%F T（n，k）=总和（T（j，k-2），j=k-2..n-2），2<=k<=n，n>=2；

%F T（n，0）=1，T（n+1，1）=1。（结束）

%F对于n>1:T（n，k）=T（n-2，k）+T（n-1，k），1<k<n.-Reinhard Zumkeller_，2013年4月24日

%e三角形T（n，k）开始：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。

%e（电子）---------------------------------------

%e[0]1，

%e[1]1，1，

%e[2]1、1、1，

%e[3]1、1、2、1、，

%e[4]1、1、3、2、1、，

%e[5]1、1、4、3、3、1、，

%e【6】1、1、5、4、6、3、1、，

%e[7]1、1、6、5、10、6、4、1、，

%e【8】1、1、7、6、15、10、10、4、1、，

%e[9]第1、1、8、7、21、15、20、10、5、1、，

%e（电子）---------------------------------------

%e来自_加里·W·亚当森，2019年10月23日：（开始）

%e考虑与奇数N对应的多项式的根，使得对于N=7，多项式为（x^3+x^2-2x-1），根（a，b，c）为（-1.8019377…，1.247697…，和-0.445041…）。由根导出的多项式的判别式是连续差值乘积的平方：在这种情况下，（a-b），（b-c），（c-a））^2，结果是49，与从立方系数导出的方法相匹配。出于我们的目的，我们使用差异的乘积，而不是平方，结果是（3.048…）*（1.69202…）x（1.35689…）=7.0。猜想：对于集合中的所有多项式，根之差的乘积=对应的N。对于N=7，我们得到x^3-7x+7。似乎对于所有素数N，这些生成的伴随多项式是一元的（左系数是1），所有其他系数是N或其倍数，最右边的项=N。前几个素数的伴随多项式为：

%e N=5:x^2-5；

%e N=7:x^3-7x+7；

%e N=11:x^5-11x^3+11x^2+11x-11；

%e N=13:x^6-13x^4+13x^3+26x^2-39x+13；

%e N=17:x^8-17x^6+17x^5+68x^4-119x^3+17x^2+51x-17；

%e N=19:x^9-19x^7+19x^6+95x^5-171x^4-19x^3+190x^2-114x+19。（结束）

%p A065941:=proc（n，k）：二项式（n-floor（（k+1）/2），floor（k/2））end:seq（seq（A065941（n，k），k=0..n），n=0..15）；#_约翰·梅耶尔（Johannes W.Meijer），2011年8月11日

%p A065941:=proc（n，k）选项记住：本地j:如果k=0，则1 elif k=1，然后1:elif k>=2，然后添加（procname（j，k-2），j=k-2..n-2）fi：结束：seq（seq（A065941（n，k），k=0..n），n=0..15）；#_约翰·梅耶尔（Johannes W.Meijer），2011年8月11日

%p#函数qStirling2在A333143中定义。

%p-seq（打印（seq（qStirling2（n，k，-1），k=0..n）），n=0..9）；

%p#_Peter Luschny_，2020年3月9日

%t压扁[表[二项式[n-Floor[（k+1）/2]，Floor[k/2]]，{n，0,15}，{k，0，n}]]（*哈维·P·戴尔，2011年12月11日*）

%o（哈斯克尔）

%o a065941 n k=a065941_tabl！！不！！k个

%o a065941_row n=a065941 _ tabl！！n个

%o a065941_tabl=迭代（\row->

%o zipWith（+）（[0]++行）（zipWise（*）（行++[0]）a059841_list）[1]

%o——Reinhard Zumkeller，2012年5月7日

%o（PARI）T065941（n，k）=二项式（n-（k+1）\ 2，k\ 2）；\_米歇尔·马库斯（Michel Marcus），2014年4月28日

%o（岩浆）[二项式（n-楼层（（k+1）/2），楼层（k/2））：k in[0..n]，n in[0..15]]；//_G.C.Greubel，2019年7月10日

%o（Sage）[[二项式（n-floor（（k+1）/2），floor（k/2））for k in（0..n）]for n in（0..15）]#_G.C.Greubel_，2019年7月10日

%Y参见A065942（中心杆序列）、A000045（行总和）、A108299。

%Y A046854的反射版本。

%Y一些三角形和（参见A180662）：A000045（Fi1）、A016116（Kn21）、A000295（Kn23）、A094967（Fi2）、A000931（Ca2）、P001519（Gi3）、A00930（Ze3）。

%Y参考A003558、A182579、A059841、A333143。

%K non，tabl，简单

%0、9

%A _伦·斯迈利_，2001年11月29日