%I#89 2024年1月4日03:45:40

%S 1,1,1,1,4,1,10,10,1,1,20,50,20,1,35175,35,1,56490980，

%电话：490,56,1,1,841176411641176,84,1,11202520141122469614112，

%U 2520120,1165495041580116424116424415804950165,1

%N反对偶读取的数组：偏序集3*m*N或具有行<=m、列<=N和项<=3的平面分区中的反链（或序理想）数。

%广义二项式系数（n，k）_3的C三角；参见A342889。这个数组是Felsner等人（2011）长篇文章的主要主题_N.J.A.Sloane，2021年4月3日

%C霍加特（1977）提到了这个三角形_N.J.A.Sloane，2021年3月27日

%C帕斯卡三角形A007318的3×3子数组的行列式（当不存在时，将矩阵项设置为0）_Gerald McGarvey，2005年2月24日

%C也是3 X 3数组的行列式，其项来自一行：T（n，k）=det[C（n，k），C（n，k-1），C_Peter Bala，2012年5月10日

%C发件人：Gary W.Adamson_，2012年7月10日：（开始）

%C这个三角形的三角形视图是

%C1类；

%C 1，1；

%C 1，4，1；

%C1、10、10、1；

%C1、20、50、20、1；

%C该三角形的第n行是通过将ConvOffs变换应用于1、4、10、20……的前n项而生成的。。。（A000292，不带前导零）。有关转换的程序定义，请参见A214281，有关更多示例，请搜索“ConvOffs”。（完）

%定义多项式p（n，x）=超几何（[-1-n，-n，1-n]，[2,3]，-x）。如果三角形由对角线1、0、0……延伸，。。。在右边，得到的基于（0,0）的三角形是T*（n，k）=[x^k]p（n，x）。在x=1时计算的多项式给出了长度n的Baxter置换数（参见A001181中由_Richard L.Ollerton给出的公式）_Peter Luschny_，2022年12月28日

%D Berman和Koehler，有限分配格的基数，Mitteilungen aus dem Mathematischen Seminar Giessen，121（1976），p.103-124

%D R.P.Stanley，平面分区的理论与应用。二、。应用研究。数学。50（1971年），第259-279页。Thm（厚度）。18.1

%H Paul Barry，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Barry/barry91.html“>关于广义Pascal三角的基于整数序列的构造</a>，整数序列杂志，第9卷（2006），第06.2.4条。

%H J.Berman和P.Koehler，有限分配格的基数，吉森数学研讨会，121（1976），103-124。[带注释的扫描副本]

%H Johann Cigler，<a href=“https://arxiv.org/abs/2103.01652“>Pascal三角形、Hoggatt矩阵和类似结构</a>，arXiv:2103.01652[math.CO]，2021。

%H Johann Cigler，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/349376205_Some_observations_about_Hoggatt_triangles网站“>关于Hoggatt三角形的一些观察</a>，维也纳大学（奥地利，2021）。

%H Johann Cigler，<a href=“https://arxiv.org/abs/2202.07298“>关于Pascal三角形列的Hankel行列式的一些观察及相关主题</a>，arXiv:22022.07298[math.CO]，2022。

%H Stefan Felsner、Eric Fusy、Marc Noy和David Orden，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jcta.2010.03.017“>Baxter族和相关对象的双射</a>，J.Combina.Theory Ser.a，118（3）：993-10202011。

%H V.E.Hoggatt，Jr.，给N.J.a.Sloane的信，1977年4月</a>

%H P.A.MacMahon，<A href=“http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx？c=umhistmath;idno=ABU9009“>组合分析，第495节，1916。

%F乘积{k=0..2}二项式（n+m+k，m+k）/二项式。

%F T（n，m）=2*二项式_Roger L.Bagula_，2009年1月28日

%F From _Peter Bala，2011年10月13日：（开始）

%F T（n，k）=2/（n+1）*（n+2）*（n+3））*C（n+1，k）*C；

%F T（n，k）=2/（n+1）*（n+2）*（n+3））*C（n+1，k+1）*C。参见A197208。

%F T（n-1，k-1）*T（n，k+1）*T。

%F定义a（r，n）=n*（n+1）！**（n+r）！。第（n，k）个条目是a（r，0）*a（r、n）/（a（r）*a）（r，n-k））的三角形是A007318（r=0）、A001263（r=1）、A056939（r=2）、C056940（r=3）和A056941（r=4）。（完）

%F方阵的列生成函数（从第1列开始）是1/（1-x）^4，（1+3*x+x^2）/（1-x）^7，（1+10*x+20*x^2+10*x^3+x^4）/（1-x）^10。。。，其中分子多项式是A087647的行多项式。见巴里第31页_Peter Bala，2023年10月18日

%e数组的初始行为：

%e 11 11 11。。。

%e 1 4 10 20 35 56。。。

%e 1 10 50 175 490 1176。。。

%e 1 20 175 980 4116 14112。。。

%电话：1 35 490 4116 24696 116424。。。

%e 1 56 1176 14112 116424 731808。。。

%e。。。

%e作为三角形，初始行为：

%e[1]，

%e[1，1]，

%e[1，4，1]，

%e[1、10、10、1]，

%e[1、20、50、20、1]，

%e[1,35,175,175,35,1]，

%电子[1，56490，980，490，56，1]，

%e[1、84、1176、4116、4116，1176、84、1]，

%e[1、120、2520、14112、24696、14112，2520、120、1]，

%e[1、165、4950、41580、116424、116428、4950165、1]，

%e[1、220、9075、108900、457380、731808、457380108900、9075，220、1]

%e。。。

%p#获取数组的初始项-N.J.A.Sloane_，2021年4月20日

%p bb:=（k，l）->二项式（k+l，k）*二项式；

%p代表k从0到8 do

%p l打印（[seq（bb（k，l），l=0..8）]）；

%日期：

%t t[n，m_]=2*二项式[n，m]*二项式[n+1，m+1]*二项式[n+2，m+2]/（（n-m+1）^2*（n-m+2））；扁平[表[表[t[n，m]，{m，0，n}]，{n，0，10}]]（*_Roger L.Bagula_，2009年1月28日*）

%o（PARI）\\cf.A359363

%o C=二项式；

%o T（n，k）=如果（n==0&&k==0,1，（C（n+1，k-1）*C（n+1,k）*C；

%o表示（n=1,10，表示（k=1，n，打印1（T（n，k），“，”））；打印（））；\\_Joerg Arndt_，2024年1月4日

%Y参见A000372、A056932、A001263、A056940和A056941。

%Y反对角线总和为A001181（Baxter排列）。参见A197208。

%m=1..12的广义二项式系数（n，k）_m（或广义Pascal三角形）的Y三角形：A007318（Pascal），A001263，A056939，A056940，A05694，A05641，A142465，A14246，A1424608，A174109，A34289，A342890，A342891。

%K nonn，简单，表格，不错

%0、5

%密奇哈里斯（_M）_