%I#62 2018年12月6日11:26:21

%S 1,1,3,5,2,15,32,22,5105260234,93,14945258927501450386,42，

%电话：103953066936500229508178158613213542232546476388136，

%电话：1661104340064764292027025663336091632367123780346363410925602070826333430

%N三角形T（N，k）给出了根映射的数量，而不考虑有N个边和k个节点的亏格（N>=0，k=1..N+1）。

%C三角形T（n，k），按行读取，由（1,2,3,4,5,6,7,8,9，…）DELTA（1,1,1,1,1,1,1,1,1，…）给出，其中DELTA是A084938中定义的运算符_菲利普·德雷厄姆，2011年11月21日。

%C A127160*A007318作为无限下三角矩阵。-_Philippe Deléham，2012年1月6日

%H Gheorghe Coserea，<a href=“/A0539979/b053979.txt”>行n=0..100，扁平</a>

%H D.Arques和J.-F.Beraud，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X（99）00197-1“>可定向曲面上的根映射，Riccati方程和连分式，离散数学，215（2000），1-12。

%H R.Cori，<a href=“https://arxiv.org/abs/0812.0440“>不可分解排列、超映射和标记Dyck路径，arXiv:0812.0440v1[math.CO]，2008。

%H R.科里，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jcta.2009.02.008“>不可分解置换、超映射和标记Dyck路径，《组合理论杂志》，a 116系列（2009）1326-1343。

%H J.Courtiel，K.Yeats，<a href=“https://arxiv.org/abs/1611.04611“>连通弦图和无桥映射，arXiv:1611.04611，等式（18）

%H T.R.S.Walsh和A.B.Lehman，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956（72）90056-1“>按属I计算根图，J.Comb.Theory B 13（1972），192-218，等式（5）。

%F G.F.：t/（1-（t+1）z/（1-（t+2）z/_Emeric Deutsch，2005年4月1日

%F和{k=0..n}（-1）^k*2^（n-k）*T（n，k）=A128709（n）。求和{k=0..n}T（n，k）=A000698（n+1）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年3月24日

%F来自Peter Bala，2011年12月22日：（开始）

%F形式为g（x，t）=x/（1-（t+1）*x^2/（1-（t+2）*x ^2/。。。满足Riccati方程（1-t*x*G）*G=x+x^3*dG/dx。t=0、t=1和t=2的情况分别给出A001147、A000698和A167872。情况t=-2、t=-3和t=-4分别给出了充气版本A000012、A025192和A084120的有理生成函数。

%F恒等式G（x，1+t）=1/（1+t，（1/x-1/G，x，t）），前提是t<>-1允许我们表示G（x、n），n=1,2，。。。，关于G（x，0），一个双阶乘数的生成函数。

%F写G（x，t）=Sum_{n>=1}R（n，t）*x^（2*n-1）时，生成多项式R（n、t）的行满足递归R（n+1，t）=（2*n-1）*R（n）+t*Sum{k=1..n}R（k，t）*R（n+1-k，t，t），初始条件R（1，t）=1。

%F G（x，t-1）=x+t*x^3+（t+2*t^2）*x^5+（3*t+7*t^2+5*t^3）*x*7+。。。是A127160的o.g.f。

%函数b（x，t）=-t*G（1/x，t。因此，微分算子（D^2+x*D+t），其中D=D/dx，将因子分解为（D-a（x，t））*（D-b（x，t）），其中a（x、t）=-（x+b（x、t））。在特定情况下，t=-n是一个负整数，函数a（x，-n）和b（x，-n）成为x的有理函数，可以表示为Hermite多项式的比率。

%F（完）

%e A（x；t）=t+（t+t^2）*x+（3*t+5*t^2+2*t^3）*x^2+（15*t+32*t^2+22*t^3+5*t^4）*x^3+。。。

%e三角形开始：

%电子[1][2][3][4][5][6][7][8]

%e[0]1；

%e[1]1，1；

%e[2]3、5、2；

%e[3]15，32，22，5；

%e[4]第105、260、234、93、14页；

%e[5]945、2589、2750、1450、386、42；

%电子[6]10395、30669、36500、22950、8178、1586、132；

%电子[7]135135、422232、546476、388136、166110、43400、6476、429；

%e[8]。。。

%p G：=t/（1-（t+1）*z/：Gser:=简化（级数（G，z=0,10））：p[0]：=t:对于从1到9的n，执行p[n]：=排序（展开（系数（Gser，z^n））od:seq（seq（系数（p[n'，t^k），k=1..n+1），n=0..9）；#_Emeric Deutsch，2005年4月1日

%t g=t/折叠[1-（（t+#2）*z）/#1&，1，范围[12，1，-1]]；T[n_，k_]：=级数系数[g，{z，0，n}，{T，0，k}]；表[T[n，k]，{n，0，9}，{k，1，n+1}]//扁平（*_Jean-François Alcover_，2014年1月8日*）

%o（PARI）

%o A053979_ser（N，t=t）={

%o我的（x='x+o（'x^N），y0=1，y1=0，N=1）；

%o while（n++，y1=（1+t*x*y0^2+2*x^2*y0'）/（1-x）；

%o如果（y1==y0，break（））；y0=y1）；年；

%o}；

%o concat（应用（p->Vecrev（p），Vec（A053979_ser（10）））

%o\\test:y=A053979_ser（50）；2*x^2*导数（y，x）==-t*x*y^2+（1-x）*y-1

%2017年5月31日，Gheorghe Coserea

%o（PARI）

%o A053979_seq（N）={

%o my（t=t，R=向量（N），S=向量（N））；R[1]=S[1]=t；

%o对于（n＝2，

%o R[n]=t*subst（S[n-1]，t，t+1）；

%o S[n]=R[n]+总和（k=1，n-1，R[k]*S[n-k]）；

%o应用（p->Vecrev（p），R/t）；

%o}；

%o连接（A053979_seq（10））

%o\\test:y=t*Ser（适用（p->Polrev（p，not），A053979_seq（50）），'x）；y==t+x*y^2+x*y+2*x^2*导数（y，x）&&y==t+x*y*子集（y，t，t+1）\\Riccati eq&&Dyck eq

%2017年5月31日，Gheorghe Coserea

%Y参见A000108、A000346、A001147、A084938。A000698、A025192、A084120、A127160、A167872。

%K non，tabl，简单

%0、4

%A _N.J.A.Sloane，2000年4月9日

%E更多术语摘自德国电子报，2005年4月1日