%I#106 2023年11月3日00:00:34

%S 0、1、1、2、1、1、1、3、2、1、2、1、1、1、4、1、2、1、1、1、3、2、1、1、1、5、1、1，

%温度1,2,1,1,1,3,1,1,2,1,1,4,2,1,2,1,2,2,1,1,3,3,1,1,1,1,2,1,1,2,1，

%U 1,1,1,3,1,1,2,1,1,1,1,4,1,1,2,1,1,1,1,3,1,2,2,1,1,1,1,5,1,2,2,1,1,1,3,1

%N素因式分解中的最大指数。

%C将n分解为平方数的所有因子的最小数，另见A128651，A001055_Reinhard Zumkeller_，2007年3月30日

%C 2014年11月1日n阶阿贝尔群的最大不变因子数

%C a（n）是具有Heinz数n的分区部分的最高频率。我们将分区的Heinz号p=[p_1，p_2，…，p_r]定义为乘积（p_j-th素数，j=1..r）（_Alois p.Heinz_在A215366中使用的概念是分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（24）=3；实际上，亨氏数为24=2*2*2*3的分区是[1,1,1,2]，其中不同部分1和2的频率分别为3和1_Emeric Deutsch，2015年6月4日

%C来自托马斯·奥多夫斯基，2019年12月2日：（开始）

%C a（n）是最小的k，因此b^（phi（n）+k）==b^k（mod n）表示所有b。

%C Euler phi函数可以替换为Carmichael lambda函数。

%C问题：

%C（*）是否有复合数n>4，使得n==a（n）（mod phi（n））？根据莱默的全面推测，不存在这样的无平方数。

%C（**）是否有奇数n使得a（n）>1且n==a（n，mod lambda（n））？这些是奇数n，使得a（n）>1和b^n==b^a（n，mod n）表示所有b。

%C（***）是否有奇数n使得a（n）>1且n==a（n，mod ord_{n}（2））？这些是奇数n，使得a（n）>1和2^n==2^a（n）（mod n）。

%C注：如果（***）不存在，则（**）不存在。（完）

%C Niven（1969）证明了该序列的渐近平均值为1+Sum_{j>=2}1-（1/zeta（j））（A033150）_Amiram Eldar，2020年7月10日

%H Daniel Forgues，n表，n=1..100000的a（n）

%H Benjamin Merlin Bumpus和Zoltan A.Kocsis，<A href=“https://arxiv.org/abs/1204.01841“>Spined categories：广义树宽超越图</a>，arXiv:2104.01841[math.CO]，2021。

%H曹慧忠，<a href=“http://www.math.bas.bg/infres/MathBalk/MB-05/MB-05-105-108.pdf“>与因子分解整数中指数相关的渐近公式，巴尔干数学，第5卷（1991年），Fasc.2。

%H Ivan Niven，<a href=“https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1969-0241373-5“>因式分解整数中指数的平均值，Proc.Amer.Math.Soc.，第22卷，第2期（1969年），第356-360页。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/NivensConstant.html“>Niven常数</a>。

%H<a href=“/index/Eu#epf”>根据n的因式分解中的指数计算序列的索引项</a>

%F a（n）=最大_｛k=1..A001221（n）｝A124010（n，k）.-_Reinhard Zumkeller，2011年8月27日

%F a（1）=0；对于n>1，a（n）=最大值（A067029（n），a（A028234（n））_Antti Karttunen_，2016年8月8日

%F猜想：a（n）=a（A003557（n））+1。该关系与（1）=0一起定义了序列_Velin Yanev，2017年9月2日

%F来自_David J.Seal_的意见，2017年9月18日：（开始）

%这个猜想对我来说似乎很容易证明：如果n的因式分解是p1^k1*p2^k2*…*pm^km，则n的最大无平方因子的因式分解为p1*p2*…*所以A003557（n）的因式分解是p1^（k1-1）*p2^（kN-1）*…*pm ^（km-1），如果允许指数为零，或者如果不允许，则去掉指数为零的乘积项（如果这导致乘积为空，则通常将其视为1）。

%F然后，公式根据以下事实得出：假设所有ki>=1，Max（k1，k2，…，km）=Max（k1-1，k2-1，…，km-1）+1，并且Max（k-1-，k2-2，……，km-2）不会因移除ki-1值0而改变，前提是我们将空的Max（）视为0。这证明了关于空积和Max（）的公式和条件对应于a（1）=0。

%F此外，对于任意n，应用公式Max（k1，k2，…，km）乘以n=p1^k1*p2^k2*…*pm^km将所有指数减为零，即减到a（1）=0的情况下，因此情况和公式生成序列。（完）

%e对于n=72=2^3*3^2，a（72）=max（指数）=最大值（3,2）=3。

%p A051903:=程序（n）

%p a：=0；

%ifactors（n）[2]do中f的p

%p a：=最大值（a，op（2，f））；

%p端do：

%p a；

%p end程序：#_R.J.Mathar_，2012年4月3日

%p#第二个Maple程序：

%p a:=n->最大值（0，seq（i[2]，i=ifactors（n）[2]））：

%p序列（a（n），n=1..120）；#_阿洛伊斯·海因茨，2020年5月9日

%t表[如果[n==1，0，Max@@Last/@FactorInteger[n]]，{n，100}]（*_Ray Chandler_，2006年1月24日*）

%o（哈斯克尔）

%o a051903 1=0

%o a051903 n=最高$124010_row n---Reinhard Zumkeller_，2012年5月27日

%o（PARI）a（n）=如果（n>1，vecmax（因子（n）[，2]），0）\\查尔斯·格里特豪斯IV_，2012年10月30日

%o（Python）

%o来自sympy进口保理商

%o定义A051903（n）：

%o如果n>1，则返回max（factorint（n）.values（）），否则为0

%o#_Chai Wah Wu_，2015年1月3日

%o（方案，带有备忘录-宏定义）

%o（定义（A051903 n）（如果（=1 n）0（最大值（A067029 n）（A05190 3（A028234 n）））_Antti Karttunen，2016年8月8日

%Y平均值为A033150=1.7052。。。。

%Y参见A002322、A005361、A008479、A028234、A051904、A052409、A067029、A091050、A129132、A327295、A328310、A329885。

%K nonn，简单

%O 1,4个

%A _Labos Elemer，1999年12月16日