%我#171 2023年11月2日07:55:20

%S 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,27,30,32,36,40,45,48,50,54，

%电话：60,64,72,75,80,81,90,96100108120125128135144150160162180，

%电话：192200216225240243250256270288300320324360375384400405

%N 5-光滑数，即素数都小于等于5的数。

%C有时称为汉明序列，因为汉明要求一个有效的算法来生成形式为2^i*3^j*5^k的所有数字的列表，以升序表示i，j，k>=0。Edsger Dijkstra推广了这个问题。

%C数字k，使8*k=EulerPhi（30*k）。-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年11月5日

%C当A165704中出现大于1的记录值时：A165705（n）=A165703（a（n））。-_Reinhard Zumkeller，2009年9月26日

%C A051916是一个子序列_Reinhard Zumkeller_，2010年3月20日

%C也称为“调和整数”，见Howard和Longair，1982年，表一，第121页_Hugo Pfoertner，2020年7月16日

%C也被称为丑陋的数字，尽管不清楚为什么_Gus Wiseman_，2021年5月21日

%C一些木本竹子的开花间隔非常长且稳定，属于这一序列。Veller、Nowak和Davis的模型从进化的角度证明了这一观察的合理性_安德烈·扎博洛茨基，2021年6月27日

%对于每个素数p>5的整数k，p^（4*k）-1==0（mod 240*k）_Federico Provvedi，2022年5月23日

%C如A085152注释中所述，斯特默定理表明，作为该序列的连续项出现的唯一连续整数对是（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（8,9）、（9,10）、（15,16），（24,25）和（80,81）。这些都代表了重要的音乐间隔_Hal M.Switkay，2022年12月5日

%H Reinhard Zumkeller，n表，n=1..100000的a（n）（来自T.D.Noe的前1000个术语）

%H Benoit Cloitre，abs（f（n）-s（n））与其平均值（蓝色）和对数（n）（红色）的曲线图。

%H M.J.Dominus，<a href=“http://perl.plover.com/Stream/Stream.html“>Perl中的无限列表</a>。

%H Deborah Howard和Malcolm Longair，<a href=“https://doi.org/10.2307/989675“>调和比例与帕拉迪奥的“夸特罗·利布里”，《建筑历史学家学会杂志》（1982）41（2）：116-143。

%H Vaclav Kotesovec，n=1..120000的a（n）/（exp（（6*log（2）*log</a>

%H罗塞塔代码，<a href=“http://rosettacode.org/wiki/Hamming_numbers“>用于计算5光滑数的计算机代码集合。

%H Raphael Schumacher，<a href=“http://arxiv.org/abs/1608.06928“>3-光滑数、5-光滑数、7-光滑数和所有其他光滑数的分布公式</a>，arXiv:1608.06928[math.NT]，2016。

%H科学博士，<a href=“https://groups.google.com/g/sci.math/c/YxwCqw6p9mk网址“>丑陋的数字。

%H Carl Veller、Martin A.Nowak和Charles C.Davis，<A href=“https://doi.org/10.1111/ele.12442“>通过离散繁殖进化出的竹子的延长开花间隔，《生态学快报》，18（2015），653-659。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SmoothNumber.html“>平滑数。

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_number“>常规号码</a>。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3Regular_number“>谈话：常规数字。包括对名称的讨论。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/St%C3%B8rmer%27s_ethemation（英文）“>斯特默定理。

%F设s（n）=卡片（k|a（k）<n）和F（n）=log（n*sqrt（30））^3/（6*log（2）*log。则s（n）=f（n）+O（log（n））。推测：s（n）=f（n）+O（log log n）。例如，s（10000000）=768很好地近似为f（10000000）=769.3…（见链接中的图形）_Benoit Cloitre_，2001年12月30日

%F该序列的特征函数如下所示：

%F和{n>=1}x^a（n）=和{n>=1}-Möbius（30*n）*x^n/（1-x^n）_Paul D.Hanna，2011年9月18日

%F a（n）=A143207（n）/30.-_Reinhard Zumkeller，2011年9月13日

%F A204455（15*a（n））=15，仅适用于这些数字_Wolfdieter Lang_，2012年2月4日

%F A006530（a（n））<=5.-_Reinhard Zumkeller_，2015年5月16日

%F和{n>=1}1/a（n）=乘积{素数p<=5}p/（p-1）=（2*3*5）/（1*2*4）=15/4_Amiram Eldar，2020年9月22日

%e发件人_Gus Wiseman_，2021年5月21日：（开始）

%e术语序列及其基本指数开始于：

%e 1:{}25:{3,3}

%e2:{1}27:{2,2,2}

%e3:{2}30:{1,2,3}

%e4:{1,1}32:{1,1,1,1,1,1}

%e 5:{3}36:{1,1,2,2}

%e 6:{1,2}40:{1,1,3}

%e 8:{1,1,1}45:{2,2,3}

%e 9:{2,2}48:{1,1,1,1,2}

%e 10:{1,3}50:{1,3,3}

%e 12:｛1,1,2｝54:｛1,2,2,2｝

%e 15:{2,3}60:{1,1,2,3}

%e 16:{1,1,1,1}64:{1,1,1,1,1}

%e18:{1,2,2}72:{1,1,1,2,2}

%e 20:{1,1,3}75:{2,3,3}

%e 24:{1,1,2}80:{1,1,1,1,3}

%e（结束）

%p A051037:=程序（n）

%p选项记忆；

%p局部a；

%如果n=1，则为p

%第1页；

%p其他

%p表示来自procname（n-1）+1 do的a

%p数值理论[因子集]（a）减去{2,3,5}；

%p如果%={}那么

%p返回a；

%p end if；

%p端do：

%p end if；

%p端程序：

%p序列（A051037（n），n=1..100）；#_R.J.Mathar，2017年11月5日

%t mx=405；排序@Flatten@表[2^a*3^b*5^c，{a，0，对数[2，mx]}，{b，0，Log[3，mx/2^a]}

%t选择[Range@405，Last@Map[First，FactorInteger@#]<7&]（*_Robert G.Wilson v_*）

%t用[{nn=10}，选择[Union[Times@@@Flatten[Table[Tuples[{2,3,5}，n]，{n，0，nn}]，1]]，#<=2^nn&]]（*H arvey P.Dale_，2022年2月28日*）

%o（PARI）检验（n）={m=n；对于素数（p=2,5，而（m%p==0，m=m/p））；返回（m==1）}

%o表示（n=1500，如果（测试（n），打印1（n“，”））

%o（PARI）a（n）=局部（m）；如果（n<1.0，n=a（n-1）；直到（如果（m=n，对于素数（p=2,5，而（m%p==0，m/=p））；m==1），n++）；n）

%o（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），s，t）；对于（i=0，logint（lim\=1,5），t=5^i；对于（j=0，logint（lim\t，3），s=t*3^j；而（s<=lim，listput（v，s）；s<<=1））；设置（v）\\_Charles R Greathouse IV_，2011年9月21日；2016年9月19日更新

%o（PARI）平滑（P:vec，lim）={my（v=列表（[1]），nxt=向量（#P，i，1），indx，t）；

%o while（1，t=vecmin（向量（#P，i，v[nxt[i]]*P[i]），&indx）；

%o如果（t>lim，断裂）；如果（t>v[#v]，则列表输入（v，t））；nxt[indx]++）；

%o车辆（v）

%o}；

%o平滑（[2,3,5]，1e4）\\查尔斯·格里特豪斯IV，2013年12月3日

%o（PARI）is_A051037（n）=n<7||vecmax（因子（n，6）[，1]）<7\\_M.F.Hasler_，2015年1月16日

%o（岩浆）[1..500]|PrimeDivisors（n）子集[2,3,5]]中的n:n；//_Bruno Berselli，2012年9月24日

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。集合（singleton、deleteFindMin、insert）

%o a051037 n=a051037_列表！！（n-1）

%o a051037_list=f$singleton 1，其中

%o f s=y：f（插入（5*y）$插入（3*y）$插入（2*y）s’）

%o其中（y，s'）=deleteFindMin s

%o--_Reinhard Zumkeller_，2015年5月16日

%o（Python）

%o定义isok（n）：

%o当n&1==0时：n>>=1

%o当n%3==0时：n//=3

%o当n%5==0时：n//=5

%o回报n==1#_Dario Clavijo，2022年12月30日

%Y对于其他p值的p-光滑数，请参见A003586、A002473、A051038、A080197、A080681、A08068、A08063。

%Y参见A006530、A112757、A112758、A112759、A112763、A112764、A291719。

%Y子序列：A003592、A003593、A257997。

%Y具有这些Heinz编号的分区按A001399计数。

%Y相反的共轭物是A033942，由A004250计算。

%Y相反的是A059485，按A004250计数。

%Y非3光滑情况为A080193，按A069905计算。

%Y共轭物为A037144，按A001399计算。

%Y补码是A279622，由A035300计数。

%Y要求素数指数之和为偶数，则给出A344297。

%Y参见A000244、A002182、A002183、A035301、A056239、A112798、A261144、A344293。

%K容易，不是

%O 1,2号机组

%A _瑞克·W·魏斯坦_