%I#35 2020年1月27日18:36:39

%S 1,2,1,12,1120180,30,116803360840,56,13024075600252002520，

%电话：90,1665280199584083116001108805940132,11729728060540480，

%电话：30270240504504036036012012182、151891840020756736001210809600241619202162160096026021840240、11764325600793945152005292967677680012350257920132421920735134022768036720306、1

%N行读取的三角形。无符号Lah数的推广，称为L[4,1]。

%Cs（n，x）：=和{m=0..n}T（n，m）*x^m是满足s（n、x+y）=和{k=0..n}二项式（n，k）*s（k，x）*p（n-k，y）的一元多项式，其中多项式p（n，x）=和}m=1..n}A048786（n，m）*x*m（三角形A048785的行多项式）和p（0，x）=1。

%C在本影演算（见罗马参考文献，第21页）中，s（n，x）被称为Sheffer多项式（1/sqrt（1+4*t），t/（1+4*t））。这里Sheffer符号不同。参见A006232下的W.Lang链接。

%C关于一般L[d，a]三角形，参见A286724，也可供参考。

%这是广义无符号Lah数三角形L[4,1]，Sheffer三角形（（1-4*t）^（-1/2），t/（1-4*t））。它被定义为转移矩阵

%C risefac[4,1]（x，n）=和{m=0..n}L[4,1]（n，m）*fallfac[4,1]（x，m），其中，对于n>=1，risefac[，1]（x、n）：=产品{0..n-1}（x+（1+4*j）[4,1]（x，0）：=1。

%C在矩阵表示法中：L[4,1]=S1phat[4,1]*S2hat[4,1]，分别具有无符号缩放斯特林1和缩放斯特林2泛化A290319和A111578（但此处具有偏移量0）。

%C该Sheffer矩阵的a序列和z序列分别具有f.s Ea（t）=1+4*t和Ez（t）=（1+4*t）*（1-（1+4*t）^（-1/2））/t。也就是说，a={1,4，repeat（0）}和z（n）=2*A292220（n）。请参阅此处a和z序列上的W.Lang链接。

%C逆矩阵T^（-1）=L^（-1）[4,1]是Sheffer（（1+4*T）^（-1/2），T/（1+4*T））。这意味着T^（-1）（n，m）=（-1）^（n-m）*T（n，m）。

%C fallfac[4,1]（x，n）=和{m=0..n}（-1）^（n-m）*T（n，m）*risefac[4,1][x，m），n>=0。

%C对角线序列具有o.g.f.g（d，x）=A001813（d）*Sum_{m=0..d}A091042（d，m）*x^m/（1-x）^{2*d+1}，对于d>=0（d=0主对角线）。G（d，x）生成{A001813（d）*二项式（2*（n+d），2*d）}_{n>=0}。关于如何计算一般Sheffer三角形对角序列的o.g.f.s，请参阅第二个W.Lang链接_Wolfdieter Lang，2017年10月12日

%D S.Roman，《数学微积分》，学术出版社，纽约，1984年。

%H Michael De Vlieger，n的表格，a（n）表示n=0..11475

%H Orli Herscovic，Ross G.Pinsky，<a href=“https://pdfs.semanticschoolr.org/8fe9/91ddcd917fdcce4a5d5de8fbf4a61859c25a.pdf“>一个涉及两种斯特林数的恒等式及其与某些集合分区的从右到左极小值的关系</a>，（2019）。

%H Wolfdieter Lang，<a href=“http://arXiv.org/abs/11707.04451“>关于算术级数的幂和，以及广义Stirling、Euler和Bernoulli数，arXiv:math/1707.04451[math.NT]，2017年7月，C）4节。

%H Wolfdieter Lang，<a href=“http://arxiv.org/abs/1708.01421“>关于Sheffer和Riordan数三角形对角线序列的生成函数，arXiv:1708.01421[math.NT]，2017年8月。

%H Emanuele Munarini，<a href=“https://doi.org/10.2298/AADM180226017M“>涉及Sheffer矩阵中心系数的组合恒等式</a>，《应用分析与离散数学》（2019）第13卷，495-517。

%F T（n，m）=（n！/m。

%F和{n>=0，k>=0}T（n，k）*x^n*y^k/（2*n）！=exp（x）*cosh（平方码（x*y））。-_Vladeta Jovovic_，2003年2月21日

%F T（n，m）=L[4,1]（n，m）=和{k=m.n}A290319（n，k）*A111578（k+1，m+1），0<=m<=n。

%F行多项式R（n，x）的示例：=和{m=0..n}T（n，m）*x^m：

%F（1-4*t）^（-1/2）*exp（x*t/（1-4*t））（这是三角形的示例F）。

%第m列的F E.g.F.：（1-4*t）^（-1/2）*（t/（1-4*t））^m/m！，m>=0。

%F对于列条目m>=1:T（n，m）=（n/m）*T（n-1，m-1）+4*n*T（n-1，m），T（n、m）=0表示n<m，对于列m=0:T（n）=n*Sum_{j=0..n-1}z（j）*T。

%F四项递推：T（n，m）=T（n-1，m-1）+2*（4*n-3）*T（n-1，m）-8*（n-1）*（2*n-3。

%F（monic）行多项式的Meixner型恒等式：（D_x/（1+4*D_x））*R（n，x）=n*R（n-1，x），n>=1，其中R（0，x）=1，D_x=D/dx。也就是说，和{k=0..n-1}（-4）^k*（D_x）^（k+1）*R（n，x）=n*R（n-1，x），n>=1。

%F Sheffer行多项式的一般递推（见罗马参考文献，第50页，推论3.7.2，改写为现在的Shefffer符号）：

%F R（n，x）=[（2+x）*1+8*（1+x）*D_x+16*x*（D_x）^2]*R（n-1，x），n>=1，其中R（0，x）=1。

%F列m的Boas-Buck递推（参见A286724中的注释和参考文献）：T（n，m）=（n！/（n-m））*（2+4*m）*Sum_{p=0..n-1-m}4^p*T（n-1-p，m）/（n-1-p）！，对于n>m>=0，输入T（m，m）=1。

%F显式形式（来自对角线序列的o.g.F.s）：（（2*（n-m））/（n-m）！）*二项式（2*n，2*（n-m）），n>=m>=0，以及n<m.-Wolfdieter Lang的消失，2017年10月12日

%e三角形T（n，m）开始于：

%电子邮件0 1 2 3 4 5 6 7 8。。。

%电子0:1

%e 1：2 1

%e 2:12 12 1

%电子3:120 180 30 1

%电子邮箱4:1680 3360 840 56 1

%电子邮箱5:30240 75600 25200 2520 90 1

%电子邮箱：665280 1995840 831600 110880 5940 132 1

%电子邮箱：17297280 60540480 30270240 5045040 360360 12012 182 1

%电子邮箱：518918400 2075673600 1210809600 242161920 21621600 960960 21840 240 1

%e。。。

%电子邮箱：17643225600 79394515200 52929676800 12350257920 1323241920 73513440 2227680 36720 306 1，

%电子邮箱：670442572800 3352212864000 2514159648000 67044258800 83805321600 5587021440 211629600 4651200 58140 380 1。

%e。。。

%e a序列的递归：T（4，2）=2*T（3，1）+4*4*T（3,2）=2*180+16*30=840。

%e z序列的递归：T（4，0）=4*（z（0）*T（3，0）+z（1）*T（3，1）+z（2）*T（3，2）+z（3）*T（3，3））=4*（2*120+2*180-8*30+60*1）=1680。

%e四项复发：T（4,2）=T（3,1）+2*13*T（3,2）-8*3*5*T（2,2）=180+26*30-120*1=840。

%e n=2的梅克斯纳型恒等式：（D_x-4*（D_x）^2）*（12+12*x+1*x^2）=（12+2*x）-4*2=2*（2+x）。

%e R（3，x）的Sheffer递推：[（2+x）+8*（1+x）*D_x+16*x*（D_x）^2]（12+12*x+1*x^2）=（2+x）*（12+12*x+x^2，+8*（1+x）*（12+2*x）+16*2*x=120+180*x+30*x^2+x^3=R（3、x）。

%e m=2列n=4的Boas-Buck递推：T（4，2）=（4！*10/2）*（1*30/3！+4*1/2！）=840。

%e对角线序列d=2:{12，180，840…}具有o.g.f.12*（1+10*x+5*x^2）/（1-x）^5（参见A001813（2）和A091042的n=2行）生成

%e{12*二项式（2*（n+2），4）}{n>=0}_Wolfdieter Lang，2017年10月12日

%p A290604_row:=proc（n）exp（x*t/（1-4*t））/sqrt（1-4*t）：序列（%，t，n+2）：序列_Peter Luschny_，2017年9月23日

%t t[n_，m_]：=n/m！*二项式[2*n，n]*二项式[n，m]/二项式[2]；表[a[n，m]，{n，0，8}，{m，0，n}]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2013年7月5日*）

%tT[0,0]=1；T[-1，_]=T[_，-1]=0；温度[n_，m_]/；n<m=0；T[n_，m]：=T[n，m]=T[n-1，m-1]+2*（4*n-3）*T[n-1，m]-8*（n-1）*（2*n-3；表[T[n，m]，{n，0，9}，{m，0，n}]//Flatten（*Jean-François Alcover_，2017年9月23日*）

%Y与三角形A046521相关。参见A048786。a（n，0）=A001813。

%Y A111578、A271703 L[1,0]、A286724 L[2,1]、A290319、A290596 L[3,1]、A2 90597 L[3,2]、A292220。

%Y对角线顺序为：A000012，2*A000384（n+1），12*A053134，120*A053135，1680*A053137，…-_Wolfdieter Lang，2017年10月12日

%K轻松，不，tabl

%0、2

%A _狼人郎_

%2017年10月10日，合并我的新副本后，E名称从_Wolfdieter Lang_更改