%I#300 2022年4月15日17:40:38

%S 1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,0，1,1,1,1，

%T 1,1,1,0,0,00,0,1,1,0,0，0,01,0,0，

%U 1,1,0,0,0,1,1,1,0,0，1,0,0

%N Sierpiánski的[Sierpinski’s三角形（或垫圈）：按行读取的三角形，由读取Pascal三角形（A007318）mod 2形成。

%C恢复了Sierpinski的替代拼写，以便于使用ASCII中的正则表达式匹配命令搜索此三角形_N.J.A.Sloane，2016年1月18日

%C也是三角形，给出由“规则60”和“规则102”生成的元胞自动机的连续状态_汉斯·哈弗曼，2002年5月26日

%C也是由读取欧拉数三角形（A008292）mod 2.-形成的三角形_菲利普·德雷厄姆，2003年10月2日

%当被视为GF（2）上的无限下三角矩阵时，C为自逆矩阵。

%C从[1]开始，重复应用地图0->[00/00]，1->[10/11][Allouche and Berthe]

%C也是由读取三角形A011117、A028338、A039757、A059438、A085881、A086646、A086872、A087903、A104219 mod 2.-形成的三角形_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2005年6月18日

%C J.H.Conway（在数学论坛上）写道：至少前31行给出了奇边可构造多边形（边1、3、5、15、17……参见A001317）。1的形成了一个Sierpin滑雪筛M.Dauchez（mdzzdm（AT）yahoo.fr），2005年9月19日

%C当被视为无限下三角矩阵时，其逆矩阵是零未被扰动的（-1,0,1）-矩阵，每列中的非零项构成Prouhet-Thue-Morse序列（1，-1，-1,1，-1,1，…）A010060（直到重新标记）_David Callan，2006年10月27日

%C按行读取的三角形：数组的反对偶，数组由运行mod 2的和的连续迭代形成，从（1，1，1…）开始_Gary W.Adamson_，2008年7月10日

%C T（n，k）=A057427（A143333（n，k））_Reinhard Zumkeller_，2010年10月24日

%C三角形和的定义见A180662，用七个序列将Sierpinski的三角形A047999连接起来，见交叉参考。Kn1y（n）和Kn2y（n_Johannes W.Meijer，2011年6月5日

%C用于计算实射影空间的全部Steifel-Whitney上同调类。这是Bott和Milnor证明的证明的一个重要组成部分，证明了当n不等于1、2、4或8（实数、复数、四元数、Cayley数）时，R^n上不存在没有零因子的乘积运算_马库斯·杰克林，2012年2月7日

%C T（n，k）=A134636（n，k）模块2.-_Reinhard Zumkeller，2012年11月23日

%C T（n，k）=1-A219463（n，k），0<=k<=n.-雷因哈德·祖姆克尔，2012年11月30日

%C摘自VVLADIMIR Shevelev，2013年12月31日：（开始）

%C也是由公式s_n（x）=Sum_{i=0..n}（二项式（n，i）mod 2）*x^k定义的n次多项式s_n（x）的系数表。这些多项式我们自然地称为Sierpiński多项式。它们也由递归定义：s_0（x）=1，s_（2*n+1）（x）=（x+1）*s_n。

%C注意：s_n（1）=A001316（n），

%Cs_n（2）=A001317（n），

%Cs_n（3）=A100307（n），

%Cs_n（4）=A001317（2*n），

%Cs_n（5）=A100308（n），

%Cs_n（6）=A100309（n），

%Cs_n（7）=A100310（n），

%Cs_n（8）=A100311（n），

%Cs_n（9）=A100307（2*n），

%Cs_ n（10）=A006943（n），

%Cs_n（16）=A001317（4*n），

%Cs_n（25）=A100308（2*n）等。

%C等式s_n（10）=A006943（n）表示序列A047999是通过将其项的数字用逗号分隔而从A006943。（结束）

%C来自N.J.A.Sloane的评论，2016年1月18日：（开始）

%C从三角形顶部取一个边长为n的菱形区域，将其旋转45度，得到一个正方形S_n。这里是S_6：

%C[1,1,1,1,1]

%C[1,0,1,0,1,1,0]

%C[1，1，0，0，1，1]

%C[1,0,0,0，1,0]

%C[1,1,1,1,0]

%C[1，0，1，0，0，0]。

%C则（i）S_n不包含所有四个角均等于1的正方形（平行于轴）（参见A227133）；（ii）S_n可以通过使用贪婪算法构造，约束条件是该属性不存在平方；和（iii）S_n包含A064194（n）1。因此，A0641949（n）是A227133（m）的下限。（结束）

%C有关行的乘法编码，即非零项所选素数的乘积，请参见A123098；例如，1 0 1=>2^1*3^0*5^1。-_M.F.Hasler，2016年9月18日

%C摘自Valentin Bakoev，2020年7月11日：（开始）

%C具有2^n行的Sierpinski三角形是维数为2^n X 2^n的下三角矩阵M_n的一部分。M_n是递归定义的块矩阵：M_1=[1，0]，[1，1]，对于n>1，M_n=[M_（n-1），O_（n-1是维数2^（n-1）X 2^的零矩阵。以下是M_1、M_2和M_3的外观：

%C 1 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0

%C 1 1 1 1 10 0 1 1 0 0 0 0-可以看出

%C 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0矩阵M_1，M_2。。。，M_n。。。，

%C1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0类似于Sierpinski的分形。

%C 1 0 0 0 1 0 0 0

%C 1 1 0 0 1 1 0

%C1 0 1 0 1 0 10

%C 11 11 11 11

%C M_n也可以定义为M_n=M_1 X M_（n-1），其中X表示Kronecker积。M_n是编码理论、密码学、布尔代数、单调布尔函数等领域中的一个重要矩阵，是用于计算布尔函数的代数范式的变换矩阵。在links中可以看到有关M_n的一些属性和链接。（结束）

%C Sierpinski垫圈具有分形（Hausdorff）维数log（A000217（2））/log（2）=log（3）/log（2）=1.58496…（参见A020857）。该垫片是由帕斯卡三角形（A007318）j，j>=2（见CROSSREFS）构成的垫片系列中的第一个。对于质数j，垫圈的尺寸为log（A000217（j））/log（j）=log（j（j+1）/2）/log（j）（见Reiter和Bondarenko参考）_Richard L.Ollerton，2021年12月14日

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%H N.J.A.斯隆，<A href=“/A04799/a04799.png”>第0行至第32行的插图</A>（签名风格）

%H N.J.A.Sloane，第0行至第64行的图解

%H N.J.A.Sloane，第0行至第128行的图解

%H N.J.A.Sloane，OEIS中牙签和细胞自动机序列目录</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.html“>Sierpinski筛，<a href=”http://mathworld.wolfram.com/Rule60.html“>规则60，<a href=”http://mathworld.wolfram.com/Rule102.html“>规则102</a>

%H<a href=“/index/Ce#cell”>与细胞自动机相关的序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Pas#Pascal”>为与Pascal三角形相关的三角形和数组的条目建立索引</a>

%H<a href=“/index/Si#sieve”>筛子生成序列的索引条目</a>

%F Lucas定理是T（n，k）=1当且仅当k的二进制展开式中的1是n的二进制展开中的1的子集；或者等价地，k AND NOT n为零，其中AND和NOT是按位运算符_Chai Wah Wu，2016年2月9日和N.J.A.Sloane，2016年02月10日

%F和{k>=0}T（n，k）=A001316（n）=2^A000120（n）。

%F T（n，k）=T（n-1，k-1）“异或”T（n-1，k），0<k<n；T（n，0）=T（n，n）=1_Reinhard Zumkeller_，2009年12月13日

%F T（n，k）=（T（n-1，k-1）+T；T（n，0）=T（n，n）=1_Rick L.Shepherd_，2018年2月23日

%F From _Vladimir Shevelev，2013年12月31日：（开始）

%对于多项式{s_n（x）}，我们有

%F s_0（x）=1；对于n>=1，s_n（x）=产品{i=1..A000120（n）}（x^（2^k_i）+1），

%如果n的二进制展开式为n=Sum_{i=1..A000120（n）}2^k_i；

%F G.F.求和{n>=0}s_n（x）*z^n=Product_{k>=0{（1+（x^（2^k）+1）*zqu（2|k））（0<z<1/x）。

%设x>1，t>0是实数。然后

%F和{n>=0}1/s_n（x）^t=Product_{k>=0{（1+1/（x^（2^k）+1）^t）；

%F和{n>=0}（-1）^A000120（n）/s_n（x）^t=Product_{k>=0{（1-1/（x^（2^k）+1）^t）。

%特别是，对于t=1，x>1，我们有

%F和{n>=0}（-1）^A000120（n）/s_n（x）=1-1/x（结束）

%F From _ Valentin Bakoev，2020年7月11日：（开始）

%F（参见我对矩阵M_n的评论。）用T（i，j）表示M_n（0<=i，j<2 ^n）第i行和第j列中的数字。当i>=j时，T（i，j）是Sierpinski三角形第i行中的第j个数字。对于给定的i和j，我们用k表示k=2^m和k<i类型的最大整数。然后T（i，j）递归定义为：

%F T（i，0）=T（i，i）=1，或

%如果i<j，F T（i，j）=0，或

%F T（i，j）=T（i-k，j），如果j<k，或

%F T（i，j）=T（i-k，j-k），如果j>=k。

%F因此，对于给定的i和j，T（i，j）可以按O（log_2（i））步长计算。（结束）

%e三角形开始：

%e 1，

%e 1,1，

%e 1,0,1，

%e 1、1、1，

%e 1,0,0,0,1，

%e 1,1,0,0,1,1，

%e 1,0,1,0,1,0,1，

%e 1,1,1,1,1,1,1,1,1，

%e 1,0,0,0,1，

%e 1,1,0,0,0,1,1，

%e 1,0,1,0,0,0，0,0,1,0，1，

%e 1,1,1,0,0,0,1,1,1，

%e 1,0,0,0,1,0,0，0,1,0，0，0,1，

%e。。。

%p#前M行的Maple代码（此处M=10）-N.J.A.Sloane_，2016年2月3日

%p ST:=[1,1,1]；a： =1；b： =2；M： =10；

%p表示n从2到M do ST：=[op（ST），1]；

%对于i从a到b-1的p，做ST:=[op（ST），（ST[i+1]+ST[i+2]）mod 2]；日期：

%p ST：=[op（ST），1]；

%p a：=a+n；b： =a+n；日期：

%p ST；编号_N.J.A.斯隆_

%p#备选方案

%p A047999：=进程（n，k）

%p模（二项式（n，k），2）；

%p端程序：

%p序列（序列（A047999（n，k），k=0..n），n=0..12）；#_R.J.Mathar，2016年5月6日

%t Mod[Flatten[NestList[Prepend[#，0]+Append[#，0]&，{1}，13]]，2]（*_Robert G.Wilson v_，2004年5月26日*）

%t行=14；ca=细胞自动机[60，{{1}，0}，rows-1]；压扁[表[ca[[k，1；；k]]，{k，1，行}]]（*_Jean-François Alcover_，2012年5月24日*）

%t Mod[#，2]和/@Flatten[表[二项式[n，k]，{n，0,20}，{k，0，n}]]（*哈维·P·戴尔，2019年6月26日*）

%o（PARI）\\帕斯卡三角形模p的递归，这里p=2。

%o p=2；s=13；T=矩阵；T[1,1]=1；

%o对于（n=2，s，T[n，1]=1；对于（k=2，n，T[m，k]=（T[n-1，k-1]+T[n-l，k]）%p）；

%o表示（n=1，s，表示（k=1，n，print1（T[n，k]，“，”））

%o（PARI）A011371（n）=本人；而（n>>=1，s+=n）；秒

%o T（n，k）=A011371（n）==A011371（k）+A011371（n-k）\\_Charles R Greathouse IV_，2013年8月9日

%o（PARI）T（n，k）=比特和（n-k，k）==0\\查尔斯·格里特豪斯IV_，2016年8月11日

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。位（xor）

%o a047999:：国际->国际->国际

%o a047999 n k=a047999_tabl！！不！！k个

%o a047999_row n=a047999 _ tabl！！n个

%o a047999_tabl=迭代（\row->zipWith xor（[0]++行）（row++[0]））[1]

%o--_Reinhard Zumkeller，2011年12月11日，2010年10月24日

%o（Python）

%o定义A047999_T（n，k）：

%o返回int（非~n&k）#_Chai Wah Wu_，2016年2月9日

%Y序列基于读取帕斯卡三角形mod m形成的三角形：（该序列）（m=2）、A083093（m=3）、C034931（m=4）、A095140（m=5）、A095%（m=6）、A09442（m=7）、A034930（m=8）、A0950143（m=9）、A008975。

%Y其他版本：A090971、A038183。

%Y参见A007318、A054431、A001317、A008292、A083093、A034931、A03493、A008975、A034922、A166360、A249133、A064194、A227133。

%Y From _Johannes W.Meijer，2011年6月5日：（开始）

%Y A106344是此三角形的斜交版本。

%Y三角和（见注释）：A001316（第1行；与第2行相关）、A002487（与Kn11、Kn12、Kn13、Kn21、Kn22、Kn23相关）、P007306（Kn3、Kn4）、A060632（Fi1、Fi2）、A120562（Ca1、Ca2）、A1 12970（Gi1、Gi2）、A 127830（Ze3、Ze4）。（结束）

%K nonn，tabl，轻松，好

%0、1

%A·N·J·A·斯隆_

%E来自_Lekraj Beedassy的其他链接，2004年1月22日