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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A046859号 简化阿克曼函数(Ackermann-Péter函数的主对角线)。 8
1、3、7、61 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

下一个术语是2^(2^(2^(2^(2^16)))-3,它太大,无法在数据行中显示。

阿克曼数的另一个版本是序列1^1,2^^2,3^^^3,4^^^^4,5^^^^^5,…,从1,4,3^3^3^ 3^。。。(其中塔中3的数量为3^3^3=7625597484987)。。。[康威和盖伊]。这一增长太快,无法在OEIS中拥有自己的条目。

一个更快速增长的序列是Conway-Guy序列1,2->2,3->3->3,4->4->4->4,…,这与前面注释中n<=3的序列一致,但是第4项远远大于4^^^4。

纳塔阿里康斯格利2016年4月10日:(开始)

A189896年(n) =suc(0),1+1,2*2,3^3,…,也称为阿克曼数,是上述序列的弱版本。

众所周知,Ackermann函数是可计算(可使用while/for循环的组合实现)的简单示例,但不是原始递归函数(只能使用有限数量的do while/for循环实现)函数。

看到了吗A054871号关于超运算(a[n]b和H_n(a,b))的定义。

原始Ackermann函数f的定义如下:

{

{f(0,y,z)=y+z;

{f(1,y,0)=0;

{f(2,y,0)=1;

{f(x,y,0)=x;

{f(x,y,z)=f(x-1,y,f(x,y,z-1))

{

这里有f(1,y,z)=y*z,f(2,y,z)=y^z。

Ackermann函数变量是满足上述递归关系的三元函数。

例子:

超运算函数H(x,y,z)满足原函数的递推关系,但具有以下初始值:

{

{H(0,y,z)=y+1;

{H(1,y,0)=y;

{H(2,y,0)=0;

{H(n,y,0)=1。

{

阿克曼函数族可以通过省略三元函数的“y”变量来简化,方法是使它们具有两个参数。

一个2元的阿克曼函数就是一个满足递归关系的函数:f(x,z)=f(x-1,f(x,z-1))。

最常见的例子是Ackermann-Péter函数,其定义如下:

{

{1+0(年);

{A(x+1,0)=A(x,1);

{A(x+1,y+1)=A(x,A(x+1,y))

{

这里有(0,y-1)=y=2[0](y-1+3)-3。

假设A(x-1,y-1)=2[x-1](y-1+3)-3。

通过对正x的感应:

因为2[x]2=4(参见A255176号)我们有A(x,0)=A(x-1,1)=2[x-1]4-3=2[x-1]2[x-1]2-3=2[x-1]3-3。

通过对正y的归纳,我们可以得出如下结论:

A(x,y)=A(x-1,A(x,y-1))=2[x-1](2[x](y-1+3)-3+3)-3=2[x-1]2[x](y-1+3)-3=2[x](y+3)-3。

*

如果f是三元(2元)阿克曼函数,则Ack(n)=f(n,n,n)(f(n,n))称为简化的阿克曼函数。“阿克曼数”是Ack(n)的值。

这里我们有a(n)=a(n,n)=2[n](n+3)-3。

(结束)

参考文献

康威,J.H.和盖伊R.K.《数字之书》。纽约:Springer Verlag,第60页,1996年。

G、 Everest,A.van der Poorten,I.Sparlinski和T.Ward,复发序列,美国医学杂志。数学。Soc.,2003年;见第255页。

H、 Hermes,Aufzaehlbarkeit,Entscheidbarkeit,Berechenbarkeit:Einfuehrung in die Theorie der rekursiven Funktionen(第三版,Springer,1978),83-89。

H、 Hermes,同上,第二版。也有英文版(Springer,1969),第13章

链接

n=0..3的n,a(n)表。

W、 阿克曼,祖姆·希尔伯特森·奥夫堡·德雷尔伦·扎伦,数学。安。99年(1928年),118-133年。

D、 E.Knuth和N.J.A.Sloane,通信,1970年5月

公式

纳塔阿里康斯格利2016年4月10日:(开始)

A(0,y):=y+1,A(x+1,0):=A(x,1),A(x+1,y+1):=A(x,A(x+1,y));

a(n)=a(n,n)。

a(n)=2[n](n+3)-3=H_nn(2,n+3)-3.(结束)

例子

纳塔阿里康斯格利2016年4月10日:(开始)

a(0)=2[0](0+3)-3=1;

a(1)=2[1](1+3)-3=3;

(2+2)-3](2+2);

a(3)=2[3](3+3)-3=61;

a(4)=2[4](4+3)-3=2^(2^(2^65536))-3.(结束)

交叉引用

囊性纤维变性。A059936号,甲266200,A271553号. (涉及简化阿克曼函数的序列)

囊性纤维变性。A001695型,A014221号,邮编:A143797,A292649号(涉及两个自变量阿克曼函数的其他版本的序列)。

囊性纤维变性。A054871号,A189896年(涉及三元阿克曼函数变量的序列)。

囊性纤维变性。A126333号(a(n)=a(n,0)),A074877号(a(n)=a(3,n))。

囊性纤维变性。A260002号-A260006年(具有Sudan函数的序列,另一个可计算但不是原始递归函数)。

囊性纤维变性。甲266201(Goodstein函数,全函数而非原递归函数)。

上下文顺序:邮编:A185846 A239023号 邮编:A164895*A242380 A225195年 A084289号

相邻序列:A046856号 A0857年 A046858号*A046860号 A046861号 A046862号

关键字

,布雷夫

作者

高德纳

扩展

其他评论来自弗兰克·埃勒曼2001年4月21日

姓名澄清人纳塔阿里康斯格利2016年5月13日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月14日21:29。包含335729个序列。(运行在oeis4上。)