%I#148 2023年10月15日20:59:50

%序号1,2,8,1612825610242048327686553624452428841943048388608，

%电话：3355443267108864214748364842949672961717986918434359738368，

%电话：274877906944549755858138882199023255552439004651104703687441774140737835532856294995342132

%N a（N）=二项式（2n，N）/4^N的分母。

%C也是e（0，n）的分母（见枫叶线）_N.J.A.Sloane，2002年2月16日

%C任意奇数k的系数x^n在（1+x）^（k/2）或（1-x

%C二项式（2n，n）/4^n=A001790（n）的分子。

%C sqrt（C（x））扩展中的分母，C（x）A000108的g.f.-_保罗·巴里，2005年7月12日

%C 2^m*伽马（m+3/4）/（伽马（3/4）*Gamma（m+1））的分母_斯蒂芬·克劳利（Stephen Crowley），2007年3月19日

%C Jacobi_P（n，1/2，1/2，x）展开式中的分母_Paul Barry，2008年2月13日

%C该序列等于n的所有整数值的（1-x）^（（-1-2*n）/2）级数展开式系数的分母；有关详细信息，请参见A161198_Johannes W.Meijer，2009年6月8日

%C 1，-1/3，1/5，-1/7，1/9，…的二项式变换的分子。。。（Madhava-Gregory-Leibniz系列用于Pi/4）：1、2/3、8/15、16/35、128/315、256/693。。。。第一个差异是-1/3、-2/15、-8/105、-16/315、-128/3465、-256/9009。。。其包含相同的分子。第二个差异是1/5、2/35、8/315、16/1155、128/15015。。。同样使用相同的分子。第二列：2/3、-2/15、2/35、-2/63、2/99；参见A000466（n+1）=A005563（2n+1）。第三列：8*（1/15，-1/105，1/315，-1/693，…），见A061550。参见A173294和A173296_保罗·柯茨（Paul Curtz），2010年2月16日

%C 0、1、5/3、11/5、93/35、193/63、793/231，…=（0后跟A120778（n））/A001790（n）是0，1，-1/3，1/5，-1/7，1/9，…的二项式变换。参见A173755和以下公式_Paul Curtz，2013年3月13日

%C arcsin（x）/sqrt（1-x^2）幂级数的分子，以x=0为中心。-_John Molokach，2013年8月2日

%C Sum_{n>=0}exp（（-1）^n*Euler（2*n）*x^n/（2*n））泰勒级数展开式中系数的分母，分子见A280442_Johannes W.Meijer_，2017年1月5日

%C Pochhammer（n+1，-1/2）/sqrt（Pi）的分母。-_Adam Hugill_，2022年9月11日

%C a（n）是cos（x）^（2*n）从x=0到2*Pi.-的平均值的分母_斯特凡诺·斯佩齐亚（Stefano Spezia），2023年5月16日

%C 4^n/二项式（2n，n）是指当每次抽出一只袜子直到找到匹配的袜子时，从n双不同袜子的抽屉中随机抽出的袜子数量的预期值（King和King，2005）_Amiram Eldar，2023年7月2日

%C a（n）是（1/Pi）*积分{x=-oo..+oo}秒（x）^（2*n+1）dx的分母。相应的分子是A001790（n）_穆罕默德·亚辛，2023年7月29日

%C a（n）是Integral_{x=0..Pi/2}sin（x）^（2*n+1）dx的分子。相应的分母为A001803（n）_穆罕默德·亚辛，2023年9月22日

%D W.Feller，《概率论及其应用导论》，第1卷，第2版，纽约：Wiley，1968年；第三章，方程式4.1。

%D B.D.Hughes，《随机行走和随机环境》，牛津大学，1995年，第1卷，第513页，等式（7.282）。

%D Eli Maor，e：数字的故事。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1994年），第72页。

%H T.D.Noe，n表，n=0..200的a（n）</a>

%H C.M.Bender和K.A.Milton，<A href=“http://arxiv.org/abs/hep-th/9304062“>作为离散非线性变换的连分式，arXiv:hep-th/93040621993。见n=1时的V_n。

%H Isabel Cação、Helmuth R.Malonek、Maria Irene Falcão和Graça Tomaz，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL21/Falcao/falcao2.html“>与多维多项式序列相关的组合恒等式</a>，J.Int.Seq.，第21卷（2018年），第18.7.4条。

%H Jeremy和Patricia King，<a href=“https://www.jstor.org/stable/3621252“>问题89.G，问题角，《数学公报》，第90卷，第515号（2005），第314页；<a href=”https://www.jstor.org/stable/3621446“>解决方案，同上，第90卷，第517号（2006年），第163-164页。

%H V.H.Moll，<a href=“http://www.ams.org/notices/200203/fea-moll.pdf“>积分评估：个人故事，通知Amer.Math.Soc.，49（2002年3月第3期），311-317。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/BinomiumSeries.html“>二项式级数。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Heads-Minus-TailsDistribution.html“>头-尾-负分布</a>。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html“>Legendre多项式。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RandomMatrix.html“>随机矩阵。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk1-Dimensional.html“>随机行走一维</a>。

%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引。

%如果n>0，F a（n）=2^（2*n-1-A048881（n-1））。

%F a（n）=2^A005187（n）。

%F a（n）=4^n/2^A000120（n）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年9月15日

%F a（n）=2^A001511（n）*a（n-1），a（0）=1.-_Johannes W.Meijer，2012年11月4日

%F a（n）=分母（二项式（-1/2，n））_Peter Luschny_，2012年11月21日

%F a（n）=（0后跟A120778（n））+A001790（n）_Paul Curtz，2013年3月13日

%F a（n）=2 ^n*A060818（n）.-_Johannes W.Meijer，2017年1月5日

%F a（n）/A001790（n）~ sqrt（Pi*n）（King and King，2005）_Amiram Eldar，2023年7月2日

%平方（1+x）=1+（1/2）*x-（1/8）*x^2+（1/16）*x*3-（5/128）*x_4+（7/256）*x_25-（21/1024）*x~6+（33/2048）*x=7+。。。

%e二项式（2n，n）/4^n=>1，1/2，3/8，5/16，35/128，63/256，231/1024，429/2048，6435/32768。。。

%e序列e（0，n）开始于1，3/2，21/8，77/16，1155/128，4389/256，33649/1024，129789/2048，4023459/32768。。。

%p e：=进程（l，m）局部k；加上（2^（k-2*m）*二项式（2*m-2*k，m-k）*二项式（m+k，m）*二项式（k，l），k=l.m）；end:seq（denom（e（0，n）），n=0..24）；

%p Z[0]：=0：对于k到30，做Z[k]：=简化（1/（2-Z*Z[k-1]）od:g:=总和（（Z[j]-Z[j-1]），j=1..30）：gser:=级数（g，Z=0，27）：seq（denom（系数（gser，Z，n）），n=-1..23）；#_零入侵拉霍斯，2008年5月21日

%p A046161:=proc（n）选项记住：如果n=0，则1其他2^A001511（n）*procname（n-1）fi:end:A001511:=proc[n）:padic[ordp]（2*n，2）end:seq（A046161（n），n=0..24）；#_Johannes W.Meijer，2012年11月4日

%p A046161:=n->4^n/2^加（i，i=转换（n，基数，2））：

%p序列（A046161（n），n=0..24）；#_Peter Luschny_，2014年4月8日

%t a[n，m]：=二项式[n-m/2+1，n-m+1]-二项式[n-m/2，n-m+1]；s[n]：=和[a[n，k]，{k，0，n}]；表[分母[s[n]]，{n，0，26}]（*Michele Dondi（bik.mido（AT）tiscalinet.it），2002年7月11日*）

%t分母[表[二项式[2n，n]/4^n，{n，0,30}]]（*哈维·P·戴尔，2012年10月29日*）

%t表格[分母@LegendreP[2n，0]，{n，0,24}]（*_Andres Cicuttin_，2018年1月22日*）

%o（PARI）a（n）=如果（n<0,0，分母（二项式（2*n，n）/4^n））/*_迈克尔·索莫斯，2004年9月15日*/

%o（PARI）a（n）=我的（s=n）；而（n>>=1，s+=n）；2012年4月7日，查尔斯·格里特豪斯四世

%o（PARI）a（n）=分母（I^-n*pollegendre（n，I/2））

%o（鼠尾草）

%o定义A046161（n）：

%o A005187=λn:A005187（n//2）+n，如果n>0，否则为0

%o返回2^A005187（n）

%o【A046161（n）表示n in（0..24）】#_Peter Luschny_，2012年11月16日

%o（最大值）

%o a（n）：=分母（二项式（-1/2，n））；

%o名单（a（n），n，0,24）；/*_Peter Luschny_，2012年11月21日*/

%o（岩浆）[分母（二项式（2*n，n）/4^n）：n in[0..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年7月18日

%o（Python 3.10+）

%o定义A046161（n）：返回1<<（n<<1）-n.bit_count（）#_Chai Wah Wu_，2022年11月15日

%Y参见A001790、A001803、A002596、A005187、A067002、A072287、A142961。

%Y参考所有n值的（1-x）^（（-1-2*n）/2）级数展开式的A161198三角形。

%Y参见A000108、A000120、A000466、A001511、A005563、A048881、A060818、A061550、A120778、A173294、A17329.6、A173755、A280442。

%K nonn，轻松，好，压裂

%0、2

%A _瑞克·W·魏斯坦_