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%I#237 2024年4月22日21:00:18
%S 1,1,0,1,0,0,0，1,0,0,1,0，0,00,0',0,1,0,0，
%T 0,0,0,1,0,0，0,00,0'，0,0，
%U 0,0,00,0,1,0,0，0,0'，0,0
%N Fredholm-Rueppel序列。
%Kempner-Mahler数和{k>=0}1/2^（2^k）=A007404的二进制表示。
%C另外，a（n）=a（n）mod 2，其中a是A001700、A005573、A007854、A026641、A049027、A064063、A064088、A064090、A0640.92、A064325、A064277、A064 329、A064331、A064613、A076026、A10523、A123273、A126694、A126930、A12693、A126982、A126993、A12698、A1270016、A127053、A127358、A127360、A127361、A127633中的任意一个_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年5月26日
%C a（n）=（二进制表示法中n的数字乘积；n）mod 2。该序列是Thue-Morse序列（A010060）的变换，因为存在一个函数f，使得f（n的位数之和）=（n的数字乘积）_Ctibor O.Zizka，2008年2月12日
%Ca（n-1），n>=1，2，A000079的幂的特征序列，是下列形式积和形式幂级数恒等式的唯一解：乘积{j>=1}（1+a（j-1）*x^j）=1+Sum{k>=1}x^k=1/（1-x）。因此产品是product_{l>=1}（1+x^（2^l））。证明。比较x^n的系数，并使用n的二进制表示。唯一性来自A147542下给出的一般情况下的递推关系_Wolfdieter Lang，2009年3月5日
%C a（n）也是[-1,1]上的映射x->1-cx^2在Feigenbaum临界值C=1.401155….-时长度n的轨道数_Thomas Ward_，2009年4月8日
%C A054525（莫比乌斯变换）*A001511=A036987=A047999^（-1）*A0001511=Sierpinski垫圈的倒数*标尺序列_Gary W.Adamson_，2009年10月26日[当然，根据这些公式中的模糊索引是如何具体化的，这只是模糊正确的。-R.J.Mathar_，2014年6月20日]
%C A0000225的特征函数。-_Reinhard Zumkeller，2012年3月6日
%C加泰罗尼亚数字A000108的奇偶性_Omar E.Pol，2012年1月17日
%C对于n>=2，也是最大指数k>=0，使得二进制表示法中的n^k不同时包含0和1。与此序列的十进制版本A062518不同，其中的项只是推测的，对于此序列，a（n）的值可以被证明是A000225的特征函数，如下所示：n^k将同时包含0和1，除非n^k=2^r-1用于某些r。但这是加泰罗尼亚方程x^p=y^q-1的特例，Preda-Mihéilescu证明了除2^3=3^2-1外没有非平凡解_Christopher J.Smyth，2014年8月22日
%C图像，编码a，b->1；c->0，从a开始的不动点，态射a->ab，b->cb，c->cc.-_Jeffrey Shallit_，2016年5月14日
%n+1阶非同构布尔代数的C个数_宋建宁2020年1月23日
%H Antti Karttunen，n的表格，n=0..65537的a（n）</a>
%H D.Bailey等人，<a href=“https://doi.org/10.5802/jtnb.457“>关于代数数的二进制展开式</a>，Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 16（2004），487-518。
%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2005.04066“>关于Rueppel序列和相关Hankel决定因素的一些观察结果，arXiv:2005.04066[math.CO]，2020。
%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2107.00442“>关于一些广义Rueppel序列的猜想和结果</a>，arXiv:2107.00442[math.CO]，2021。
%H Daniele A.Gewurz和Francesca Merola，<A href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Gewurz/gewurz5.html“>作为寡形置换群的Parker向量实现的序列，J.Integer Seqs.，第6卷，2003。
%H Mats Granvik，<a href=“http://pastebin.com/9KDtcwfz“>Mathematica程序，用于计算Fredholm Rueppel序列</a>
%H D.Kohel、S.Ling和C.Xing，<a href=“http://www.maths.usyd.edu.au/u/kohel/doc/perfect.ps“>显式序列扩展，《序列及其应用》，C.Ding、T.Helleseth和H.Niederreiter编辑，《1998年SETA会议录》（新加坡，1998年），308-3171999年。
%H Preda Mihéilescu，<a href=“网址：http://dx.doi.org/10.1515/crll.2004.048“>初级分圆单位与加泰罗尼亚猜想的证明，J.Reine angew.Math.572（2004）：167-195。doi:10.1515/crll.2004.048。2076124先生。
%H H.Niederreiter和M.Vielhaber，<a href=“http://dx.doi.org/10.1006/jcom.1996.0014“>树复杂性和结构化序列与随机序列之间的双指数差距</a>，复杂性杂志，12（1996），187-1988。
%H Apisit Pakapongpun和Thomas Ward，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Ward/ward17.html“>函数轨道计数</a>，《整数序列杂志》，12（2009）第09.2.4条。【摘自2009年4月8日托马斯·沃德】
%H Eric Rowland和Reem Yassawi，<a href=“https://arxiv.org/abs/1403.7659“>Profinite automata，arXiv:1403.7659[math.DS]，2014年。见第8页。
%H E.Sheppard，<a href=“http://groups.google.com/groups？hl=en&selm=61%40epsilon。UUCP“>net.math帖子（1985）</a>
%H Stephen Wolfram，<a href=“http://www.wolframscience.com/nksonline/page-1092“>[第1092页]一种新的科学|在线</A>。
%特征函数的索引项</a>
%F 1后跟一个2^k-10的字符串。如果n=2^m-1，a（n）=1。
%当n>0且a（0）=1时，F a（n）=a（楼层（n/2））*（n mod 2）_Reinhard Zumkeller_2，2002年8月2日【由Mikhail Kurkov修订，2019年7月16日】
%F和{n>=0}1/10^（2^n）=0.11010001000000000000000000000010。。。
%如果n=0，则F 1为floor（log_2（n+1））-floor（log_2（n）），否则为floor。通用公式：（1/x）*求和{k>=0}x^（2^k）=求和{k>=0{x^_Ralf Stephan，2003年4月28日
%F a（n）=1-A043545（n）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年8月25日
%F a（n）=-和{d|n+1}μ（2*d）.-_Benoit Cloitre_，2003年10月24日
%F右移序列的Dirichlet g.F.：2^（-s）/（1-2^））。
%F a（n）=A000108（n）修订版2=A001405（n）修改版2_Paul Barry，2004年11月22日
%F a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*和{j=0..k}二项式_保罗·巴里（Paul Barry），2006年6月1日
%F A0000523（n+1）=总和_｛k=1..n｝a（k）.-_米奇·哈里斯，2011年7月22日
%F a（n）=A209229（n+1）_Reinhard Zumkeller_，2012年3月7日
%F a（n）=和{k=1..n}A191898（n，k）*cos（Pi*（n-1）*（k-1））/n；（推测）_Mats Granvik_，2013年3月4日
%F a（n）=A000035（A000108（n））_Omar E.Pol_，2013年8月6日
%F a（n）=1 iff n=2^k-1对于某些k，否则为0_M.F.Hasler，2014年6月20日
%F a（n）=天花板（log_2（n+2））-天花板（log_（n+1））_Gionata Neri，2015年9月6日
%F发件人：John M.Campbell，2016年7月21日：（开始）
%F a（n）=（A000168（n-1）模块2）。
%F a（n）=（A000531（n+1）模块2）。
%F a（n）=（A000699（n+1）模块2）。
%F a（n）=（A000891（n）模块2）。
%F a（n）=（A000913（n-1）mod 2），对于n>1。
%F a（n）=（A000917（n-1）mod 2），对于n>0。
%F a（n）=（A001142（n）模块2）。
%F a（n）=（A001246（n）修改版2）。
%F a（n）=（A001246（n）mod 4）。
%F a（n）=（A002057（n-2）mod 2），对于n>1。
%F a（n）=（A002430（n+1）模块2）。（结束）
%F a（n）=2-A043529（n）.-_Antti Karttunen，2017年11月19日
%F a（n）=楼层（1+log（n+1）/log（2））-楼层（log（2n+1）/log（2_阿德里亚诺·卡罗利（Adriano Caroli），2019年9月22日
%这也是-Sum_{k>=1}mu（2*k）/（10^k-1）的十进制展开式，其中mu是Möbius函数（A008683）_Amiram Eldar，2020年7月12日
%e G.f=1+x+x^3+x^7+x^15+x^31+x^63+x^127+x^255+x^511+。。。
%e a（7）=1因为7=2^3-1，而a（10）=0因为10不是任何整数k的形式2^k-1。
%p A036987:=n->`如果`（2^ilog2（n+1）=n+1，1，0）：
%p序列（A036987（n），n=0..128）；
%t实数位[N[和[1/10^（2^N），{N，0，无限}]，110]][1]
%t（*周期：*）
%tt[n，1]=1；t[1，k_]=1；
%t t[n，k_]：=t[n、k]=
%t如果[n<k，如果[n>1&&k>1，-求和[t[k-i，n]，{i，1，n-1}]，0]，
%t如果[n>1&&k>1，求和[t[n-i，k]，{i，1，k-1}]，0]]；
%t表格[t[n，k]，{k，n，n}，{n，104}]
%t（*Mats Granvik，2011年6月3日*）
%t mb2d[n_]：=1-模块[｛n2=整数位数[n，2]}，最大[n2]-最小[n2]]；阵列[mb2d，120，0]（*Vincenzo Librandi_，2019年7月19日*）
%t表格[PadRight[{1}，2^k，0]，{k，0,7}]//扁平（*_哈维·P·戴尔，2022年4月23日*）
%o（PARI）{a（n）=（n++）==2^估值（n，2）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年8月25日*/
%o（PARI）a（n）=！位带（n，n+1）；\\_路德·范托尔，2023年4月5日
%o（哈斯克尔）
%o a036987 n=磅（n+1），其中
%o磅1=1
%o ibp n=如果r>0，则0，否则ibp n'，其中（n'，r）=divMod n 2
%o a036987_list=1:f[0,1]其中f（x:y:xs）=y:f（x:xs++[x，x+y]）
%o——与091090_list的列表生成器功能相同，参见a091090。
%o--_Reinhard Zumkeller_，2015年5月19日，2013年4月13日，2003年3月13日
%o（Python）
%o来自sympy import catalan
%o def a（n）：return catalan（n）%2#_Indranil Ghosh_，2017年5月25日
%o（Python）
%o定义A036987（n）：返回int（非（n&（n+1）））#_Chai Wah Wu_，2022年7月6日
%Y参见A007404、A043545、A062518、A078885、A078585、A078 886、A07888、A078 88、A07889、A078890。
%Y A073346的第一行。在A073202中首次作为第6行（再次作为第8行）发生。
%Y与序列A000108、A007460、A007461、A00746、A0074、A061922、A068068中的任意一个约化模2一致。A000225的特性功能。
%Y如果用偏移量=1而不是0进行解释（即a（1）=1，a（2）=1、a（3）=0、a（4）=1…）然后这是2^n（A000079）的特征函数，因此出现在A073265的第一行。此外，在这种情况下，INVERT转换将生成A023359。
%这是盖·斯蒂尔的序列GS（1，3），也是GS（3，1）（参见A135416）。
%Y参考A054525、A047999.-_Gary W.Adamson，2009年10月26日
%Y参考A043529，A127802。
%K nonn，简单，改变了
%0、1
%A _N.J.A.斯隆_
%E编辑：M.F.Hasler，2014年6月20日
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