%I#242 2022年12月29日06:36:30

%S 1,1,2,2,1,5,5,3,1,14,14,9,4,1,42,28,14,5,11321,90,48,20,6,1，

%电话：429429297165,75,27,7,1143014301001572275110,35,8,14862，

%电话：4862343220021001429154，44,9,1

%N加泰罗尼亚三角A009766转位。

%C按行读取的三角形：T（n，k）=包含k的Dyck n路径数（A000108）返回地面。例如，路径UDUUDD、UUDDUD各有2个返回；因此T（3,2）=2。均匀诱导列上的行总和为精细数A000957_David Callan，2005年7月25日

%C数字a（n，k）的三角形数组=由k棵种植的平面树和n个非根节点组成的线性森林的数量。

%C加泰罗尼亚卷积三角形；偏移量[0,0]：a（n，m）=（m+1）*二项式（2*n-m，n-m）/（n+1），n>=m>=0，否则为0。柱m的G.f:c（x）*（x*c（x_Wolfdieter Lang，2001年9月12日

%Ca（n+1，m+1），n>=m>=0，a（n，m）：=0，n<m，具有逆矩阵A030528（n，m）*（-1）^（n-m）。

%C a（n，k）=半长n且k返回轴的Dyck路径数。还有半长n且在高度k处具有第一个峰值的Dyck路径数。还有具有n条边和根阶k的有序树数。还有带有n条边且在水平k处具有最左边叶子的有序树的数。还有半周长n+1且在最左边列中具有k个单元的平行四边形多公数_Emeric Deutsch_，2004年3月1日

%C三角形T（n，k），1<=k<=n，由[0，1，1，1,1，1…]DELTA[1，0，0，0,0，0…]=1给出；0, 1; 0, 1, 1; 0, 2, 2, 1; 0, 5, 5, 3, 1; 0, 14, 14, 9, 4, 1; ... 其中，DELTA是A084938中定义的运算符；基本上与A059365相同的三角形_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年6月14日

%C半长Dyck路径数，在高度2处有k-1个峰值_Emeric Deutsch，2004年8月31日

%C Riordan数组（C（x），x*C（x）），C（x）A00018的g.f。Riordan数组（1-x，x*（1-x））的逆_保罗·巴里（Paul Barry），2005年6月22日

%C三角形A106566的副三角形。-_菲利普·德雷厄姆，2007年1月7日

%C T（n，k）也是具有k个不动点的（n链的）保序和减序全变换的个数_阿卜杜拉希·乌马尔，2008年10月2日

%C按行读取的三角形，A065600和A007318的乘积被视为无限下三角数组；A033184=A065600*A007318.-_Philippe Deléham，2009年12月7日

%C表示“第k列是第1列的k次卷积”的公式相当于反复将M应用于[1,0,0,0，…]，其中M是所有1的上三角矩阵，附加一个1的单次子午线。-_Gary W.Adamson_，2011年6月6日

%C 4^（n-1）=（第n行项）点（A001792中的前n项），其中A001792=自然数的二项式变换：（1，3，8，20，48，112，…）。示例：4^4=256=（14，14，9，4，1）点（1，3，8，20，48）=（42+42+28+14+5+1）=256_Gary W.Adamson，2011年6月17日

%C三角形第n次对角的e.g.f.的形式为exp（x）*P（n，x），其中P（n、x）是三角形A039599第n行的e.g.f。例如，A039599的第三行是[5，9，5，1]，所以这个三角形的第三个子对角序列[5，14，28，48，75，…]具有例如f.exp（x）*（5+9*x+5*x^2/2！+x^3/3！）_Peter Bala_，2019年10月15日

%C Hoggatt和Bicknell第397页表1.3中卷积矩阵的反对角线_汤姆·科普兰，2019年12月25日

%C当n>0时，A120588（n）=A000108（n-1）的卷积三角形_Peter Luschny_，2022年10月7日

%H Reinhard Zumkeller，<a href=“/A033184/b033184.txt”>三角形的n=1.125行，扁平</a>

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%F第k列是第1列的k倍卷积。三角形也递归定义为（i）三角形外部的条目为0，（ii）左上条目为1，（iii）其他条目为其东邻和西北邻的总和_David Callan，2005年7月25日

%F G.F.：t*x*c/（1-t*xx*c），其中c=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数字（A000108）的G.F_Emeric Deutsch，2004年3月1日

%F T（n+1，k+1）=C（2*n-k，n-k）*（k+1）/（n+1）_Paul D.Hanna，2008年8月11日

%F T（（m+1）*n+r-1，m*n+r-1）*r/（m*n++）=和{k=1..n}（k/n）*T（（m+1）*n-k-1，m*1）*T（r+k，r），n>=m>1_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2011年3月17日

%F T（n-1，m-1）=（m/n）*和{k=1..n-m+1}（k*A000108（k-1）*T（n-k-1，m-2）），n>=m>1_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2011年3月17日

%F T（n，k）=C（2*n-k-1，n-k）-C（2*n-k-1，n-k-1）。-_Dennis P.Walsh，2012年3月19日

%F T（n，k）=C（2*n-k，n）*k/（2*n-k）_Dennis P.Walsh，2012年3月19日

%F（n，k）=T（n，k-1）-T（n-1，k-2）_Dennis P.Walsh，2012年3月19日

%财务报表：2*x*y/（1+sqrt（1-4*x）-2*x*y）=Sum_{n>=k>0}T（n，k）*x^n*y^k.-Michael Somos_，2016年6月6日

%e三角形开始：

%e（电子）---+-----------------------------------

%电子邮箱|1 2 3 4 5 6 7

%e（电子）---+-----------------------------------

%第1页|1

%e 2|1 1

%e 3 | 2 2 1

%e 4 | 5 5 3 1

%e 5 | 14 14 9 4 1

%e 6 | 42 42 28 14 5 1

%电话：7 | 132 132 90 48 20 6 1

%p a：=proc（n，k）如果k<=n，则k*二项式（2*n-k，n）/（2*n-k）其他0 fi结束：seq（seq（a（n，k），k=1..n），n=1..10）；

%p#使用A357368的函数PMatrix。为n添加行和列，k=0。

%p矩阵（10，n->二项式（2*（n-1），n-1）/n）；#_Peter Luschny_，2022年10月7日

%t nn=10；c=（1-（1-4 x）^（1/2））/（2 x）；f[list_]：=选择[list，#>0&]；Map[f，Drop[CoefficientList[Series[y x c/（1-y x c），{x，0，nn}]，{x、y}]，1]//平面（*_Geoffrey Criter_，2012年1月31日*）

%t Flatten[Reverse/@NestList[Append[Accumulate[#]，Last[Accumlate[#]]&，{1}，9]]（*_Birkas Gyorgy_，2012年5月19日*）

%o（PARI）T（n，k）=二项式（2*（n-k）+k，n-k）*（k+1）/（n+1）

%o（Sage）#构建三角形的最简单方法。

%o定义A033184_三角形（n）：

%o T=[0代表i in（0..n）]

%对于k in（1..n）：

%o T[k]=1

%o对于范围（k-1,0，-1）内的i：

%o T[i]=T[i-1]+T[i+1]

%o打印（[T[i]代表i in（1..k）]）

%o A033184_三角形（10）#_Peter Luschny_，2012年1月27日

%o（哈斯克尔）

%o a033184 n k=a033184_tabl！！（n-1）！！（k-1）

%o a033184_row n=a033184 _ tabl！！（n-1）

%o a033184_tabl=映射反向a009766_tabl

%o——Reinhard Zumkeller，2014年2月19日

%o（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（2*n-k，n）*k/（2*n-k）：k in[1..n]]：n in[1..15]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年10月12日

%Y行加泰罗尼亚三角形A009766向后读取。

%Y a（n，1）=A000108（n-1）。行总和=A000108（n）（加泰罗尼亚语）。

%Y以下是相同加泰罗尼亚三角形（基本上）的所有版本：A009766、A030237、A033184、A059365、A099039、A106566、A130020、A047072。

%Y对角线给出A000108、A000245、A002057、A000344、A003517、A000588、A0035128、A00351、A001392。

%Y参见A116364（行平方和），A120588。

%K nonn，表

%O 1,4型

%基督教G.鲍尔_