%I#35 2018年6月30日20:54:26
%S 3,12,4010022645284814842485397661609240135241932027072,
%电话:3722450391671888844011497214786218818823732829660367913,
%电话:45281655350467211281124097348811619841379856
%N具有2种颜色的N-1个珠子的可逆字符串的数量。6颗珠子是黑色的。字符串不是回文的。
%C From _Petros Hadjicostas,2018年5月19日:(开始)
%C设k是一个大于等于2的整数。序列(c(n):n>=1)的BHK[k]变换的g.f.c(x)=Sum_{n>=1}c(n。这很容易从下面关于变换的C.G.Bower网络链接中的公式中得到。
%当k是奇数且C(n)=1表示所有n>=1时,我们得到C(x)=x/(1-x)和A_k(x)=(1/2)*(x/(1-x))*((x/)^{k-1}-(x^2/(1-x^2))^{(k-1)/2})。如果(a_k(n):n>=1)是输出序列(带有g.f.a_k(x)),则可以证明(使用泰勒展开)对于n>=k+1,a_k。(显然,a_k(1)=…=a_k(k)=0。)
%C在这个序列中,k=7,(根据C.G.Bower)a(n)=a{k=7}(n)是n具有7个阳性部分的可逆非正向成分的数量。如果n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7是n的这种组合(bi>=1),那么它等价于组合n=b7+b6+b5+B4+b3+b2+b1,并且每个等价类都有两个元素,因为这里不允许使用线性回文作为n的组合。
%C事实上,我们正在寻找1,1,1…的BHK[7]变换。。。意味着n的每个组成部分只能有一种颜色(请参阅下面关于变换的鲍尔链接)。
%C在每个这样的组成中,用一个黑色(b)球替换每个b_i,然后用b_i-1白色(W)球替换。然后放下第一个黑色(B)球。然后我们得到一个长度为n-1的可逆非顺向性字符串,它有6个黑球和n-7个白球。此过程应用于等效成分n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=b7+b6+b5+B4+b3+b2+b1,得到两个长度为n-1的字符串,其中有6个黑球和n-7个白球,它们是彼此的镜像。
%因此,对于n>=2,a(n)=a_{k=7}(n)也是长度为n-1的可逆非线性串的数目,其中k-1=6个黑球,n-k=n-7个白球。(显然,a(n)=a_{k=7}(n)>0仅适用于n>=8。对于n=7,对应于字符串BBBBBB的成分1+1+1+1+1+1被丢弃,因为它是回文的。)
%C(结束)
%H C.G.Bower,转换(2)</a>
%F“BHK[7]”(可逆、同一、未标记、7部分)1、1、1……的变换。。。
%F经验G.F:-x^8*(x^2+3)/((x-1)^7*(x+1)^3)_科林·巴克(Colin Barker),2012年11月24日
%F From _Petros Hadjicostas,2018年5月19日:(开始)
%F a(n)=(1/2)*(二项式(n-1,n-7)-二项式(楼层(n-1)/2),楼层(n-7)/2)),对于n>=8。
%F G.F:(1/2)*(x/(1-x))*((x/。
%F(结束)
%e摘自_Petros Hadjicostas,2018年5月19日:(开始)
%e对于n=8,我们有以下3种可逆的非正向成分,它们由n的7个部分组成:1+1+1+1+1+2(=2+1+1+1+1+1+1),1+1+1+1+1(=1+2+1+1+1)和1+1+1+2+1(=1+1+2+1+1)。使用注释中描述的过程,我们得到了以下具有6个黑球和n-7=1个白球的可逆非正向字符串:BBBBBB W(=WBBBBBB)、BBBBB WB(=BWBBBB)和BBBBWBB(=BBWBBB)。
%e对于n=9,我们得到以下12个组合和12个对应字符串:
%e 1+1+1+1+1+1+1+3<->BBBBBB WW公司
%e 1+1+1+1+1+3+1<->BBBBB WWB
%e 1+1+1+3+1+1<->BBBBWWBB
%e 1+1+1+1+1+2+2<->BBBBB WBW
%e 1+1+1+1+2+1+2<->BBBBWBBW
%e 1+1+1+2+1+2+2<->BBBWBBBW
%e 1+1+2+1+1+1+2<->BBWBBBBW
%e 1+2+1+1+1+1+2<->BWBBBBBBW
%e 1+1+1+2+1+2+1<->BBBBWBWB
%e 1+1+1+2+1+2+1<->BBBWB
%e 1+1+2+1+1+2+1<->BBWBBBWB
%e 1+1+1+2+2+1+1<->BBBWBWBB
%e(结束)
%Y参见A002620、A006584、A032091、A032092、A032094、A239572、A282011。
%K nonn公司
%O 8,1号机组
%基督教G.鲍尔_
%E定义由Harvey P.Dale_于2017年10月2日略微更改
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