发件人：rusin@vesuvius.math.niu.edu（戴夫·鲁辛）新闻组：sci.mah主题：Re:格问题（三角形）日期：1997年10月8日17:00:44 GMT在文章中<3435C701.7BF9@cruzio.com>，杜兰特写的：>在一个8 x 8的格子上可以形成多少个三角形（就像一个地质板）>这样每个三角形的顶点都位于晶格点上？多少？>三角形可以在一个n x n的晶格上形成吗？在文章<61e5vk$q56$1@gannett.math.niu.edu>中，戴夫·鲁辛写的：>更有趣的是询问>三角形或三角形的相似类。或者别的什么。我不>虽然对于将军n我相信>答案的顺序是n^4。请参见> http://www.math.niu.edu/known-math/95/integrate.tris[网址更新1999/01--djr]我应该补充一下，三角形的同余类的数量对于较小的N，NxN网格上的顶点很容易计算。引理：每个这样的三角形都与一个顶点位于原点的三角形全等证明：将点标记为“最顶部”、“最底部”、“左侧”和“最右边”（领带有多个标签）。三点，4个奖项，因此至少有一个双赢者。将该点转换为适当的拐角。旋转四分之一圈。量化宽松政策备注：这里我们只在欧几里德群的_子群_下使用共轭。对于每个这样的三角形，我们计算边长的平方A、B、Ca、 b、c；数字A、B、C是正整数，三角形是当a^2+b^2+c^2=2（AB+BC+CA）时，简并（（+-）a+（++）b+（+-）c=0）。（证明：将四个等式相乘）。因此，我们可以执行使用整数算法搜索同余类：三角形集={}对于{0，1，…，N}^2中的（i，j）do对于{0，1，…，N}^2中的（k，l）do设A=i^2+j^2，B=k^2+l^2，C=（i-k）^2+（j-l）^2如果A^2+B^2+C^2<>2（AB+BC+CA），则（排序S={A，B，C}）如果S不在三角形集合中，则插入它（按lex顺序）结束条件为结束do结束do显示TriangleSet的基数以下是我对前几个N的了解：1, 8, 29, 79, 172, 333, 587, 963, 1494, 2228, 3195, 4455我在斯隆的序列服务器中查找了这个序列，但没有找到找到匹配项。（我想现在它将被添加到手册中）。是否可以在不枚举TriangleSet的元素？也许吧，但我没有追查细节，因为它看起来相当复杂。显然，TriangleSet最多有（N+1）^4个元素。这是过量计数，如两对点{（i，j），（k，l）}和{（k，l}，（i，j）}给出相同的三角形，并且这对{（j，i），（l，k）}给出了一个全等三角形。（如果您想跟踪此小心，你需要注意形状的三角形{（i，j），（j，i）}。）所以我们有一个上界（N+1）^4/4左右。还要注意，如果{（i，j），（k，l）}是一个三角形，（在证明中（引理的）有两个点，每个点有两个标签，然后对{（i，j），（i-k，j-l）}表示全等三角形。（具有多个连接的三角形将对应多对点。）通过这种方式，人们可能可以精确地计算三角形的等价类，其中两个三角形等价，如果它们在不同子群的作用下处于同一轨道欧几里德群。这可能成功的候选人包括翻译的T组正方形8个对称的（二面体）群的子群S由T和这些S中的任何一个生成的组但提前确定同余类的正确数量是有点棘手。此数字小于等效数下的类，因为例如具有顶点的三角形at（4,3）和（7,4）与顶点位于（5，0）和（8，1），但不是通过在这个受限子群中使用对称性。确定这种“歪斜”同余意味着一些代数正如我在前一篇文章中指出的那样，数论。我怀疑这会将等价类的数量减少O（N^4）。我们可以更进一步，在包含膨胀的更大组，即寻找相似性三角形类。只需在算法中插入一个额外的步骤，排序前用（A、B、C）除以最大公因数并检查是否包含在内。戴维==============================================================================发件人：sequences-reply@research.att.com收件人：rusin@math.niu.edu日期：1997年10月8日星期三10:56:18-0400（EDT）主题：[无]为1 8 29 79 172 333 587找到匹配项（最多10个）：尽管现在表中有28000个序列，但至少你的一个不在那里！请把它寄给我(njas@research.att.com)我会（很可能）加上它！包括简要说明。谢谢！参考文献（如有）：o 96年12月：看看我的网页，它可以“在线”查找！去：http://www.research.att.com/~njas/序列o整个序列表也可见。o有关更多序列，请参阅“整数序列百科全书”作者：N.J.A.Sloane&S.Plouffe，学术出版社，ISBN 0-12-558630-2。o如果你查找的序列不在表中，请发送给我njas@research.att.com !o有第二个序列服务器(superseeker@research.att.com)这很难找到解释。每人只有1个请求请按小时计费。o密钥：%I=ID行：Annnnnn=序列的绝对目录号，Mnnn=百科全书中的数字，%S、 %T，%U=序列开始，[%V，%W，%X=签名版本]%N=名称，%R=参考，%Y=交叉参考，%A=权威，%F=公式，%K=关键字，%H=源URL地址，%D=详细信息引用数量，%p=Maple；%t=数学；%o=其他计算机语言；%O=偏移量=[a，b]：a是第一个条目的下标，b给出第一个条目的位置>=2。对期刊的引用给出了卷、页、年。o如果“查找”一词没有出现，您将收到帮助文件。序列你的，整数序列在线百科全书，N.J.A.Sloane，AT&T Research，美国新泽西州弗洛勒姆公园，邮编：07932-0971njas@research.att.com==============================================================================[我立即回复：（我更新了以下网址，1999/01）]==============================================================================我没有看到与以下序列的匹配：1, 8, 29, 79, ...这是可以绘制的三角形的同余类数使用NxN栅格中的晶格点作为顶点。如果我搜索过正确地说，接下来的几个术语是1, 8, 29, 79, 172, 333, 587, 963, 1494, 2228, 3195如果您认为这是手册的适当数据：http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/triangles.grid戴维==============================================================================以下是一些未发布的附加评论。上次更新时间：1997/10/10==============================================================================我们可以使用此Maple程序处理相似性和一致性：N： =3：#从这里重复，令人作呕三角形集：={}:SimSet:={}:对于i从0到N do对于从0到N的j do对于从0到N的k do对于从0到N的l doA： =i ^2+j ^2：B:=k ^2+l ^2：C:=（i-k）^2+（j-l）^2：如果A^2+B^2+C^2<>2*（A*B+B*C+C*A），则x： =排序（[A，B，C]）：TriangleSet:=TriangleSet并集{x}：y： =gcd（A，B）：y：=gcdx： =[x[1]/y、x[2]/y和x[3]/y]：SimSet:=SimSet联合{x}：fi:od:od:id:od:nops（三角形集）；nops（SimSet）；evalf（“/”）；N： =N+1；输出数据为编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9模拟1 6 20 55 119 229 402 667 1019聪1 8 29 79 172 333 587 963 1494% 100 75 68.9 69.6 69.1 68.8 68.5 69.2 68.2电话：10 11 12 13 14 15 16 17 18模拟1536 2216 3049 4168 5546 7203 9278 11755 14597聪2228 3195 4455 6050 8032 10481 13464 17014 21235% 68.9 69.4 68.4 68.9 69.0 68.7 68.9 69.1 68.7相似类的数量是同余类的数量。（我怀疑它们中的每一个都可以作为N中的四次多项式，误差可能是O（N^2），比如说，所以极限分数的存在并不奇怪，但我没想到快速达到极限分数。）==============================================================================