|
%I#129 2024年1月31日17:54:01
%S 1,2,4,9,23,6621073327811137849864232769115156018786，
%电话：330872061907802131150653921724171093047454745804323154696185，
%电话：228277999049516700904488706126356632390298730345492897379571339056088376071772829247410
%N a（N）=和{k=0..N}（N-k+1）^k。
%C行A004248、A009998和A009999的总和。
%C第一个差异在A047970中。
%C A103439的第一个差异。
%C数组A003992的反对角和。
%C a（n-1），对于n>=1，是长度为n的限制增长字符串（RGS）[s（0），s（1），…，s（n-1；参见A000110中的示例和两条评论（Arndt，2011年4月30日-2013年1月4日）_Joerg Arndt_，2015年3月7日
%C长度为n+1的有限序列s的数目，其鉴别器序列本身为s。这里，s的鉴别器序列是其中第n项（n>=1）是最小正整数k，因此前n项是两两不一致的模k.-_Jeffrey Shallit_，2016年5月17日
%C来自Gus Wiseman_，2019年1月8日：（开始）
%C也是{1，…，n+1}的集合分区数，其最小值形成正整数的初始区间。例如，a（3）=9个集合分区是：
%C{{1}，{2}，}3}，[4}}
%C{{1}，{2}，}3,4}}
%C｛｛1｝、｛2、4｝、｛3｝｝
%C{{1,4}，{2}，}3}
%C{{1}，{2,3,4}}
%C{{1,3}，{2,4}}
%C{{1,4}，{2,3}}
%C{{1,3,4}，{2}}
%丙{{1,2,3,4}}
%C此列表中缺少：
%C{{1}，{2,3}，}4}
%C{{1,2}、{3}、}4}
%C{{1,3}、{2}、}4}
%C{{1,2}，{3,4}}
%C{{1,2,3}，{4}}
%C{{1,2,4}，{3}}
%C（结束）
%C a（n）是小于或等于n-m的非负整数的m-元组数（包括“0-元组”）_Mathew Englander_，2021年4月11日
%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=0..500的a（n）</a>
%H Fufa Beyene、Jörgen Backelin、Roberto Mantaci和Samuel A.Fufa，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Beyene/beyene13.html“>设置分区和其他钟号枚举对象，J.Int.Seq.，第26卷（2023年），第23.1.8条。
%H Giulio Cerbai，<a href=“https://arxiv.org/abs/2401.10027“>避免模式的修正上升序列，arXiv:2401.10027[math.CO]，2024。见第12页。
%H Sajed Haque，<a href=“http://hdl.handle.net/10012/12234“>整数序列鉴别器，2017年，见第33页推论29。
%H数学堆栈交换https://math.stackexchange.com/questions/77790/asymonics-of-1n-2n-1-3n-2-cdots-n-12-n1/78167#78167“>……的渐近性，2011年。
%H Chunyan Yan和Zhicong Lin，<a href=“https://arxiv.org/abs/1912.03674“>避免模式对的反转序列，arXiv:1912.03674[math.CO]，2019。
%F a（n）=A003101（n）+1。
%F G.F.：和{n>=0}x^n/（1-（n+1）*x）_Paul D.Hanna，2011年9月13日
%F G.F.：G（0），其中G（k）=1+x*（2*k*x-1）/（2*k*x+x-1）-x*（2*k*x+x-1）^2/（x*（2*k*x+x-1）+（2*k*x+2*x-1）/G（k+1）））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年1月26日
%F例如：求和{n>=0}积分^n exp（（n+1）*x）dx^n，其中积分^n F（x）dx ^n是F（x）的第n次积分，没有积分常数_Paul D.Hanna_，2013年12月28日
%F.O.g.F.：和{n>=0}n！*x^n/（1-x）^（n+1）/产品{k=1..n}（1+k*x）.-_Paul D.Hanna，2014年7月20日
%F a（n）=A101494（n+1,0）_Vladimir Kruchinin，2015年4月1日
%F a（n-1）=和{k=1..n}k^（n-k）.-_Gus Wiseman_，2019年1月8日
%F对数（a（n））~（1-1/LambertW（exp（1）*n））*n*log_Vaclav Kotesovec_，2021年6月15日
%F a（n）~sqrt（2*Pi/（n+1+（n+1）/w（n）））*（（n+1_Vaclav Kotesovec_，2021年6月25日，在用户“leonbloy”之后，请参阅Mathematics Stack Exchange链接。
%通用公式：A（x）=1+2*x+4*x^2+9*x^3+23*x^4+66*x^5+210*x^6+。。。
%e我们的身份：
%e A（x）=1/（1-x）+x/（1-2*x）+x^2/（1-3*x）+x^3/（1-4*x）+5x^4/（1-5*x）＋。。。
%e等于
%e A（x）=1/（1-x）+x/（（1-x）^2*（1+x））+2*x^2/（（1-x）^3*（1+x）*（1+2*x））+3*x^3/（（1-x）^4*（1+x）*（1+2*x）x（1+3*x））+4*x^4/（（1-x）^5*（1+x）*（1+2*x）*。。。
%e来自Joerg Arndt_，2015年3月7日：（开始）
%e注释中描述的a（5-1）=23 RGS为（点表示零）：
%e 01:[…..]
%e 02:[.1…]
%e 03：[.1..1]
%e 04：【.1.1】
%e 05:[.1.1 1]
%e 06:[.1 1…]
%e 07:[.1 1.1.1]
%e 08:[.1 1 1.]
%e 09:[.1 11 1]
%e 10:[.1 2..]
%e 11:[.1 2.1]
%e 12:[.1 2.2]
%e 13：【.1 2 1】
%e 14：[.1 2 1 1]
%e 15：[第1 2 1 2页]
%e 16：【1 2 2】
%e 17:[.1 2 2 1]
%e 18：[.1 2 2 2]
%e 19：[第1 2 3页]
%e 20：【.1 2 3 1】
%e 21：【.1 2 3 2】
%e 22：【.1 2 3 3】
%e 23：[第1 2 3 4页]
%e（结束）
%p a:=n->加（（n+1-j）^j，j=0..n）：序列（a（n），n=0..23）；#_Zerinvary Lajos，2009年4月18日
%t表[总和[（n-k+1）^k，{k，0，n}]，{n，0，25}]（*Michael De Vlieger_，2015年4月1日*）
%o（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，x^m/（1-（m+1）*x+x*o（x^n）），n）}/*Paul D.Hanna，2011年9月13日*/
%o（PARI）{积分（n，F）=局部（G=F）；对于（i=1，n，G=整数（G））；G}
%o{a（n）=局部（a=1+x）；a=总和（k=0，n，积分（k，exp（（k+1）*x+x*o（x^n）））；n！*polceoff（a，n）}\\_Paul D.Hanna，2013年12月28日
%o表示（n=0,30，打印1（a（n），“，”）
%o（PARI）
%o{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，m！*x^m/（1-x+x*o（x^n））^（m+1）/prod（k=1，m，1+k*x+x*o（x*n））），n）}/*摘自o.g.f.（保罗·D·汉纳，2014年7月20日）*/
%o表示（n=0，25，打印1（a（n），“，”）
%o（哈斯克尔）
%o a026898 n=总和$zipWith（^）[n+1，n..1][0..]
%o——_ Inhard Zumkeller_，2014年9月14日
%o（岩浆）[（&+[（n-k+1）^k:k in[0..n]]）：n in[0..50]]；//_Stefano Spezia，2019年1月9日
%o（Sage）[sum（（n-j+1）^j for j in（0..n））for n in（0..30）]#_G.C.Greubel_，2021年6月15日
%Y参见A000110、A000258、A000670、A003101、A008277、A038125、A062810。
%Y参见A105795、A179928、A287215和A287216。
%K nonn公司
%0、2
%A _N.J.A.斯隆_
%E a（23）-a（25）摘自Paul D.Hanna，2013年12月28日
| 