|
%I#168 2023年11月30日23:34:02
%S 1,2,4,6,8,12,16,24,30,32,36,48,60,64,72,96120128144180192210，
%电话：216240256288360384420432480512576720768840864900960，
%电话：102410801152126012961440153616801728180019202048216023042310
%N每个素数签名A124832的最小整数；也包括原始编号A002110的产品。
%C所有形式的数字2^k1*3^k2**p_n^k_n，其中k1>=k2>=…>=kN，已排序。
%C A111059是一个子序列。-_Reinhard Zumkeller，2010年7月5日
%C Choie等人（2007）将这些称为“Hardy-Ramanujan整数”_Jean-François Alcover，2014年8月14日
%C指数k1，k2。。。Abramowitz&Stegun第831页，标有“pi”的栏。
%C对于它认为b（n）=b（A046523（n））的所有序列b，给出b中记录索引的序列是该序列的子序列。例如，A002182给出了A000005、A002110的记录索引，A001221和A000079给出了A001222的记录索引_Antti Karttunen，2019年1月18日
%C对应于a（n）的素数签名在A124832的第n行中给出_M.F.Hasler，2019年7月17日
%H Franklin T.Adams Watters，<a href=“/A025487/b025487.txt”>n，a（n）表，n=1..10001</a>（Will Nichols的前291个术语）
%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/CovertIt/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年。
%H Kevin Broughan，<a href=“https://doi.org/10.1017/9781108178228“>黎曼假设的等价物，第1卷：算术等价物，剑桥大学出版社，2017年。见第8.2节，“哈代-拉马努扬数”。
%H YoungJu Choie、Nicolas Lichiardopol、Pieter Moree和Patrick Solé，<a href=“https://doi.org/10.5802/jtnb.591“>关于罗宾对黎曼假设的标准，波尔多命名期刊，第19卷，第2期（2007年），第357-372页。见第5节，第367页。
%H Asaf Cohen Antonir和Asaf Shapira，<a href=“https://arxiv.org/abs/2207.09410“>Hardy和Ramanujan一个定理的初等证明（2022）.arXiv:2207.09410[math.NT]
%H Michael De Vlieger，A025487与A002110、A002182和A002201的关系。
%H Steven R.Finch，<a href=“http://arxiv.org/abs/2001.00578“>数学常数勘误表和补遗，arXiv:2001.00578[math.HO]，2020，第9-10页。
%H G.H.Hardy和S.Ramanujan，<a href=“网址：http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivPapers/Cpaper34/page1.htm“>各种类型整数分布的渐近公式。还出版于1962年切尔西斯里尼瓦萨·拉马努扬的论文集，第245-261页。
%H Jeffery Kline，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.laa.2019.09.022“>关于与素数定理相关的稀疏矩阵的特征结构，《线性代数及其应用》（2020）第584卷，第409-430页。
%H L.B.里士满，<a href=“https://doi.org/10.1016/0022-314X（76）90085-8“>分区（I）和某些整数分布的渐近结果，《数论杂志》，第8卷，第4期（1976年），第372-389页。参见第388页。
%关于这个序列的渐近行为，可以说什么？-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2010年1月6日
%F Hardy&Ramanujan证明，在x之前，该序列存在exp（（2 Pi+o（1））/sqrt（3）*sqrt（log x/log log x））成员。-Charles R Greathouse IV_，2012年12月5日
%F From _Antti Karttunen，2019年1月18日和12月24日：（开始）
%F A085089（a（n））=无。
%F A101296（a（n））=n[这是n在A101296.中的第一次出现，因此也是一个记录。]
%F A001221（a（n））=A061395（a（n））=AO61394（n）。
%F A007814（a（n））=A051903（a（n））=AO51282（n）。
%F a（A101296（n））=A046523（n）。
%F a（A306802（n））=A002182（n。
%F a（n）=A108951（A181815（n））=A329900（A18181（n）。
%F如果A181815（n）是奇数，则a（n）=A283980（a（A329904（n））），否则a（n）=2*a（A329904（n））。
%F（结束）
%F和{n>=1}1/a（n）=产品{n>=1}1/（1-1/A002110（n））=A161360.-_Amiram Eldar，2020年10月20日
%e前几个术语是1、2、2^2、2*3、2^3、2*2*3，2^4、2^3*3、2*3*5。。。
%p为A025487:=进程（n）
%p局部集，ω；
%p集合：=排序（convert（numtheory[factorset]（n），list））；
%pΩ：=nops（集合）；
%p如果op（-1，集）<>ithprime（Ω），则
%p返回false；
%p end if；
%p表示i从1到omega-1 do
%p如果padic[ordp]（n，ithprime（i））<padic[0rdp]（n，ithprice（i+1）），则
%p返回false；
%p end if；
%p端do：
%p为真；
%p端程序：
%p A025487:=程序（n）
%p选项记忆；
%p局部a；
%如果n=1，则为p
%第1页；
%p其他
%p表示来自procname（n-1）+1 do的a
%p如果是A025487（a），则
%p返回a；
%p end if；
%p端do：
%p end if；
%p端程序：
%p序列（A025487（n），n=1..100）；#_R.J.Mathar，2017年5月25日
%t PrimeExponents[n_]：=最后/@FactorInteger[n]；lpe={}；ln={1}；做[pe=排序@PrimeExponents@n；如果[FreeQ[lpe，pe]，AppendTo[lpe、pe]；附加到[ln，n]]，{n，2，2350}]；ln（2004年8月14日*罗伯特·G·威尔逊
%t（*第二个程序：生成所有术语m<=A002110（n）：*）
%tf[n_]：={{1}}~连接~
%t块[{lim=积[Prime@i，{i，n}]，
%t ww=嵌套列表[Append[#，1]&，{1}，n-1]，dec}，
%t dec[x_]：=应用[Times，MapIndexed[Prime[First@#2]^#1&，x]]；
%t映射[块[{w=#，k=1}，
%t排序@Prepend[If[Length@#==0，#，#[[1]]]，
%t乘积[Prime@i，{i，Length@w}]&@Reap[
%t执行[
%t如果[#<lim，
%t播种[#]；k=1，
%t如果[k>=长度@w，中断[]，k++]]&@dec@Set[w，
%t如果[k==1，
%t映射位置[#+1&，w，k]，
%t PadLeft[#，Length@w，First@#]&@
%t删除[MapAt[#+Boole[i>1]&，w，k]，k-1]]，
%t{i，无限}][[-1]]
%t]&，ww]]；排序[加入@@f@13]（*Michael De Vlieger_，2018年5月19日*）
%o（PARI）为A025487（n）=我的（k=估价（n，2），t）；n> >=k；对于prime（p=3，默认（primelimit），t=估值（n，p）；如果（t>k，返回（0），k=t）；if（k，n/=p^k，return（n==1））\\查尔斯·格里特豪斯IV，2011年6月10日
%o（PARI）factfollow（n）={本地（fm，np，n2）；
%o fm=系数（n）；np=材料尺寸（fm）[1]；
%o如果（np==0，返回（[2]））；
%o n2=n*下一素数（fm[np，1]+1）；
%o如果（np==1 |fm[np，2]<fm[nb-1,2]，[n*fm[np，1]，n2]，[2n2]）}
%o al（n）={局部（r，ms）；r=矢量（n）；
%o毫秒=[1]；
%o表示（k=1，n，
%or[k]=毫秒[1]；
%o ms=vecsort（concat（向量（#ms-1，j，ms[j+1]），factfollow（ms[1]）））；
%o r}/*_Franklin T.Adams-Waters，2011年12月1日*/
%o（PARI）是（n）=｛if（n==1，return（1））；my（f=factor（n））；f[#f~，1]==素数（#f~）&&vecsort（f[，2]，4）==f[，2]｝\\_David A.Corneth_，2019年2月14日
%o（PARI）小于等于（Nmax）=vecsort（concat（vector（logint，Nmax，2），n，select（t->t<=Nmax；if（n>1，[factorback（primes（#p），Vecrev（p））|p<-partitions（n）]，[1,2]））））\\_M.F.Hasler_，2019年7月17日
%o（PARI）
%o\\要快速生成大量术语，请使用此程序：
%o A283980（n）={my（f=因子（n））；prod（i=1，#f~，my（p=f[i，1]，e=f[i，2]）；如果（p==2,6，下一素数（p+1））^e）}；\\来自A283980
%o A025487list（e）={my（lista=列表（[1,2]），i=2，u=2^e，t）返回术语2^e之前的术语列表。
%o v025487=A025487列表（101）；
%o A025487（n）=v025487【n】；
%o代表（n=1，#v025487，打印1（A025487（n），“，”）；\\_Antti Karttunen_，2019年12月24日
%o（哈斯克尔）
%o导入数据。集合（singleton、fromList、deleteFindMin、union）
%o a025487 n=a025487列表！！（n-1）
%o a025487_list=1:h[b]（singleton b）bs，其中
%o（_：b:bs）=a002110_列表
%o h cs s xs'@（x:xs）
%o | m<=x=m：h（m:cs）（s“union”from List（map（*m）cs））xs”
%o|否则=x:h（x:cs）（s`union`fromList（map（*x）（x:cs）））xs
%o其中（m，s'）=deleteFindMin s
%o——Reinhard Zumkeller，2013年4月6日
%o（鼠尾草）
%o def sharp_primarial（n）：返回斯隆。A002110（prime_pi（n））
%o N=2310
%o nmax=2^楼层（对数（N，2））
%o排序（如果j<=n]，则[j代表j in（prod（sharp_primorial（t[0]））^t[1]代表k，t in enumerate（factor（n））代表n in（1..nmax））
%o#_Giuseppe Coppoletta，2015年1月26日
%Y A055932、A191743和A324583的子序列。
%Y参见A025488、A051282、A036041、A051466、A061394、A124832、A161360、A166469、A181815、A18181、A283980、A306802、A322584、A322585（特征功能）、A329897、A329988、A32989、A329900、A329904、A330683。
%Y参见A085089，A101296（左倒置）。
%Y等于A046523所取值的范围。
%Y参见A178799（一阶差）、A247451（无平方核）、A146288（除数）。
%Y该序列的子序列包括：A000079、A000142、A000400、A001013、A001813、A002110、A002182、A005179、A006939、A025527、A056836、A061742、A064350、A066120、A087980、A097212、A097213、A111059、A119840、A119845、A126098、A129912、A140999、A166338、A166470、A16647、A16643、A166448、A168263、A16826 264、A179215、A181555、，A181804、A181806、A1818029、A181818、A181822、A18182、A1811824、A1181825、A181836、A181 827、A182763、A182862、A18286、A212170、A220264、A220423、A250269、A250270、A260633、A266047、A284456、A300357、A304938、A329894、A330687；还有A037019和A330681（分拣时），也可能是A289132。
%Y该序列的重排包括A036035、A059901、A063008、A077569、A085988、A086141、A087443、A108951、A181821、A1181822、A322827、A329886、A329877。
%Y参考数组A124832（第n行=a（n）的主签名）和A304886、A307056。
%K nonn，简单，好，核心
%O 1,2号机组
%A·热心的W·威尔逊_
%E偏移由Matthew Vandermast修正，2008年10月19日
%E查尔斯·格里特豪斯IV于2010年9月3日进行了轻微修正
| 