%I#93 2023年6月7日09:45:51

%S 1,1,3,7,21,6119160319616457215957297524908570132970007，

%电话：103563233631163312793764945276716084266475734534629，

%电话：2051150954973583105007264687136235954482676217344985390276112495973280114533908383

%N a（N）=（1/2）*s（N+2），其中s=A014431。

%C第一象限中从（0,0）到（n，0）的晶格路径数，仅使用步长H=（1,0）、U=（1,1）和D=（1，-1），其中U步长有两种颜色：红色（R）和绿色（G）（即上一步为两种颜色的Motzkin路径）。例如，a（3）=7，因为我们有HHH、HRD、HGD、RDH、GDH、RHD和GHD_Emeric Deutsch，2003年12月25日

%C等于A071356的二项式逆变换：（1，2，6，20，72，…）_Gary W.Adamson_，2010年9月3日

%C a（n）是增加的一元二叉树的数量，其相关排列避免了231。有关使用相关排列增加一元二叉树的更多信息，请参阅A245888_曼达·里尔，2014年8月7日

%H G.C.Greubel，<a href=“/A025235/b025235.txt”>n，a（n）表，n=0..1000</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1910.00875“>广义加泰罗尼亚递归、Riordan数组、椭圆曲线和正交多项式</a>，arXiv:1910.00875[math.CO]，2019。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2001.08799“>Borel三角形和Borel多项式的特征</a>，arXiv:2001.08799[math.CO]，2020。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Barry/barry601.html“>关于Motzkin-Schröder路径、Riordan阵列和Somos-4序列，J.Int.Seq.（2023）第26卷，第23.4.7条。

%H S.Capparelli和A.Del Fra，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Capparelli/cap3.html“>Dyck路径、Motzkin路径和二项式变换</a>，整数序列杂志，18（2015），#15.8。

%H Xiang-Ke Chang、X.-B.Hu、H.Lei和Y.-N.Yeh，<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v23i1p8“>加法公式的组合证明</a>，《组合数学电子杂志》，23（1）（2016），#P1.8。

%H M.Dziemianczuk，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s00373-013-1357-1“>用四种类型的步骤计算格路径，图与组合数学，2013年9月，DOI 10.1007/s00373-013-1357-1。

%H Aoife轩尼诗，<a href=“http://repository.wit.ie/1693/1/AoifeThesses.pdf“>《Riordan阵列及其在连分式、正交多项式和格路径中的应用研究》，沃特福德理工学院博士论文，2011年10月。

%H L.W.Shapiro和C.J.Wang，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Shapiro/shapiro7.html“>3-Motzkin路径和Schroder路径之间的双射，奇数高度没有峰值</A>，JIS 12（2009）09.3.2。

%F a（n）=和{k=0..n}2^（k-1）*二项式（n+1，k）*二项式（n-k+1，k-1）/（n+1）_伦·斯迈利_

%固定资产：（1-x-sqrt（1-2*x-7*x^2））/（4*x^ 2）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2000年6月8日

%F G.F.（对于偏移量1）是x/（1+x+2*x^2）的序列反转_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年7月12日

%F a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*2^（k/2）*C（k/2）*（1+（-1）^k）/2，其中C（n）=A000108（n）.-_保罗·巴里（Paul Barry），2003年12月22日

%例如：exp（x）*BesselI（1,2*sqrt（2）*x）/（sqrt_Vladeta Jovovic_，2004年3月31日

%F From _Gary W.Adamson_，2012年2月21日：（开始）

%F a（n）是M^n顶行中最左边的项，M是一个无限平方生产矩阵，如下所示：

%F 1，1，0，0，0,0。。。

%F 2，0，1，0，0，0。。。

%F 2、2、0、1、0、0。。。

%F2、2、2、0、1、0。。。

%F 2、2、2，2、0、1。。。

%F 2，2，2、2、2，0。。。

%F 2、2、2和2。。。

%F。。。（结束）

%F a（n）~（1+2*sqrt（2））^（n+3/2）/（2*sqert（Pi）*2^（3/4）*n^（3/2））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年9月29日

%F递归：（n+2）*a（n）=（2*n+1）*a（n-1）+7*（n-1）*a（n-2）。-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年9月29日

%F a（n）=超深层（[-n/2，（1-n）/2]，[2]，8）_Peter Luschny_，2014年5月28日

%F G.F.：1/（1-x-2*x^2/（1-x-2*x^2/（1-x--2*x*2/（1-……））），一个连分数_伊利亚·古特科夫斯基，2017年5月26日

%e x+x ^2+3*x ^3+7*x ^4+21*x ^5+61*x ^6+191*x ^7+603*x*8+1961*x ^9+。。。

%e a（4）=21，因为M^4的顶行=（21，11，7，1，1）

%t连接[{1}，表[Sum[2^（k-1）*二项式[n+1，k]*二项法[n-k+1，k-1]/（n+1），{k，0，n}]，{n，0,50}]]（*_G.C.格鲁贝尔，2017年1月27日*）

%t a[n_]：=超几何C2F1[1/2-n/2，-n/2，2，8]；

%t表[a[n]，{n，0，27}]（*_Peter Luschny_，2018年3月18日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（serreverse（x/（1+x+2*x^2+x*o（x^n）），n+1））}/*_Michael Somos_，2003年7月12日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（（1-x-sqrt（1-2*x-7*x^2+x^3*o（x^n））/4，n+2））}/*_Michael Somos_，2007年3月31日*/

%o（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0,0，a=x*o（x^n）；n！*简化（polceoff（exp（x+a）*besseli（1,2*x*quadgen（8）+a），n））}/*_Michael Somos_，2007年3月31日*/

%Y参见A071356、A001003、A068764、A217275。

%K nonn公司

%0、3

%百灵鸟金伯利_