%I#156 2023年6月28日17:42:09

%S 0,1,3,13,5120581932771310752429209715838861335544313421773，

%电话：536870912147483658589345934359738374389534754975581389，

%电话：219902325555879609302221351843720888314073748835333

%N a（N）=3*a（N-1）+4*a（N-2），a（0）=0，a（1）=1。

%C前接0.-的5次幂（A000351）的二项式逆变换_Paul Barry，2003年4月2日

%C完全图K_5的任意两个不同顶点之间长度为n的游动次数。示例：a（2）=3，因为完整图ABCDE的顶点a和B之间的长度为2的走线为：ACB、ADB、AEB。-_Emeric Deutsch，2004年4月1日

%C序列项是填充空间的Peano-Hilbert曲线每次迭代的线段（边）数_乔治·巴尔扎罗蒂（Giorgio Balzarotti），2006年3月16日

%C一般形式：k=4^n-k。另外：A001045、A078008、A097073、A115341、A015518、A054878_弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基（Vladimir Joseph Stephan Orlovsky），2008年12月11日

%C进一步的二项式逆变换生成A015441_Paul Curtz，2009年11月1日

%C对于n>=2，a（n）等于（n-1）X（n-1_约翰·坎贝尔，2011年7月19日

%C皮萨诺周期长度：1，1，2，2，10，2，6，10，10，2,6，6，10,2，4，6，18，10，…-_R.J.Mathar，2012年8月10日

%C和{i=0..m}（-1）^（m+i）*4^i，对于m>=0，给出了0之后的项_Bruno Berselli，2013年8月28日

%当n接近无穷大时，比值a（n+1）/a（n）收敛到4_Felix P.Muga II，2014年3月9日

%C这是卢卡斯序列U（P=3，Q=-4），因此对于n>=0，a（n+2）/a（n+1）等于连续分数3+4/（3+4/

%C对于n>0，gcd（a（n），a（n+1））=1.-_Kengbo Lu，2020年7月27日

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=0..1000的a（n）</a>

%H A.Abdurrahman，<A href=“https://arxiv.org/abs/1909.10889“>CM方法和数字扩展，arXiv:1909.10889[math.NT]，2019。

%H Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit、Zhi熊Wen、Wen Wu和Jiemeng Zhang，<a href=“https://arxiv.org/abs/1911.01687“>周期k折叠序列和一些Sturmian序列生成的无和集</a>，arXiv:1911.01687[math.CO]，2019。

%H J.Borowska和L.Lacinska，<a href=“https://doi.org/10.17512/jamcm.2014.4.03“>七对角对称Toeplitz矩阵行列式的递推形式。

%H Ji Young Choi，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL21/Choi/choi10.html“>《Collatz函数和Jacobsthal数的推广》，J.Int.Seq.，第21卷（2018年），第18.5.4条。

%H E.M.García-Caballero、S.G.Moreno和M.P.Prophet，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2014.09.018“>具有斐波那契数和卢卡斯数的类Viète无穷乘积的完整视图，应用数学与计算247（2014）703-711。

%H Dale Gerdemann，<a href=“https://www.youtube.com/watch？v=g7uzUfUPWoo“>由（3,4）递归A015521生成的分形，YouTube视频，2014年12月4日。

%H F.P.Muga II，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/267327689_Extending_the_Golden_Ratio_and_the_Binet-de_Moivre_Formula“>《扩大黄金比率和比奈-德莫伊夫尔公式》</a>，2014年3月；ResearchGate预印本。

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>常系数线性重复出现的索引条目，签名（3,4）。

%F From _Paul Barry，2003年4月2日：（开始）

%F a（n）=（4^n-（-1）^n）/5。

%F例如：（exp（4*x）-exp（-x））/5。（完）

%F a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）*（-1）^（n+k）*5^（k-1）.-_保罗·巴里，2003年5月13日

%Fα（2*n）=4*a（2*n-1）-1，a（2*n+1）=4*α（2*n）+1。一般来说，对于a（n）+a（n+1）=q^（n）类型的所有序列都是如此：即a（2*n）=q*a（2n-1）-1和a（2*n+1）=q*a（2*n）+1_Amarnath Murthy，2003年7月15日

%F From _Emeric Deutsch_，2004年4月1日：（开始）

%F a（n）=4^（n-1）-a（n-1）。

%F.G.F.:x/（1-3*x-4*x^2）。（完）

%F a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）*3^（n-2k）*4^k.-Paul Barry，2004年7月29日

%F a（n）=4*a（n-1）-（-1）^n，n>0，a（0）=0.-_Paul Barry，2004年8月25日

%F a（n）=和{k=0..n}A155161（n，k）*2^（n-k），n>=1.-_Philippe Deléham，2009年1月27日

%F a（n）=圆形（4^n/5）_Mircea Merca，2010年12月28日

%对数母函数1/5*log（（1+x）/（1-4*x））=x+3*x^2/2+13*x^3/3+51*x^4/4+。。。具有成分反转5/（4+exp（-5*x））-1，例如用于A213127的签名版本_Peter Bala，2012年6月24日

%F a（n）=（-1）^（n-1）*Sum_{k=0..n-1}A135278（n-1，k）*（-5）^k=（4^n-（-1）^n）/5=（-1）^（n-1）*Sum_{k=0..n-1}（-4）^k等于（-1）^（n-1）*Phi（n，-4），其中当n是奇素数时，Phi是分圆多项式。（n>0.）-2014年4月14日，科普兰

%F a（n+1）=2^（2*n）-a（n），a（0）=0.-_本·保罗·瑟斯顿（Ben Paul Thurston），2015年12月25日

%F a（n）=A247281（n）/5.-_阿尔图格·阿尔坎，2016年1月8日

%F来自Kengbo Lu，2020年7月27日：（开始）

%F a（n）=3*Sum_{k=0..n-1}a（k）+1，如果n为奇数；a（n）=3*Sum_{k=0..n-1}a（k）如果n是偶数。

%Fa（n）=A030195（n）+Sum_{k=0..n-2}a（k）*A030195（n-k-1）。

%F a（n）=A085449（n）+和{k=0..n-1}a（k）*A085449.（n-k）。

%F a（n）=F（n）+2*和{k=0..n-1}a（k）*F（n-k）+3*和{k=0..n-2}a。

%F a（n）=F（n）+和{k=0..n-1}a（k）*（L（n-k）+F（n-k+1）），其中F（n”）表示斐波那契数，L（n）表示卢卡斯数。

%F a（n）=3^（n-1）+4*和{k=0..n-2}3^（n-k-2）*a（k）。

%F a（m+n）=a（m）*a（n+1）+4*a（m-1）*a。

%Fa（2*n）=Sum_{i>=0，j>=0}二项式（n-j-1，i）*二项式（n-i-1，j）*3^（2n-2i-2j-1）*4^（i+j）。（完）

%e G.f.=x+3*x^2+13*x^3+51*x^4+205*x^5+819*x^6+327*x^7+13107*x^8+。。。

%p seq（轮次（4^n/5），n=0..25）#_Mircea Merca，2010年12月28日

%t k=0；lst={k}；做[k=4^n-k；附加到[lst，k]，{n，0，5！}]；第1页（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky，2008年12月11日*）

%t线性递归[{3,4}，{0,1}，30]（*哈维·P·戴尔，2012年6月26日*）

%t系数列表[系列[x/（（1-4 x）（1+x）），{x，0，50}]，x]（*_Vincizo Librandi_，2014年3月26日*）

%o（Sage）[lucas_number1（n，3，-4）代表范围（0，24）内的n]#_Zerinvary Lajos_，2009年4月22日

%o（岩浆）[地面（4^n/5-（-1）^n/5）：n in[0..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年6月24日

%o（PARI）a（n）=4^n/5-（-1）^n/5；\\_阿尔图格·阿尔坎，2016年1月8日

%o（PARI）first（n）=Vec（x/（1-3*x-4*x^2）+o（x^n），-n）\\ In Fox_，2017年12月30日

%o（Python）

%o定义A015521（n）：返回（（1<<（n<<1））|1）//5#_Chai Wah Wu_，2023年6月28日

%Y参见A001045、A015518、A054878、A078008、A097073、A109200、A115341、A201455、A213127、A247281。

%K nonn，简单

%0、3

%A _利维尔·杰拉德_