%I#125 2024年2月22日09:05:38

%S 0,0,0,1,0,0，0,1,2,0,0.0，0,1,1,2,3,0,0-1,0,1,2,2,2,3,4,0,0，

%温度0,1,0,0,1,2,0,0,1,1,2,3,1,1,2,1,2,2,2,2,3,3,4,5,0,0，1,1，

%U 0,0,1,2,0,0,0_1,1,2,3,0,0，0,1,0,1,0,1,0，1,2,1,1,1,2,2,3,4,1,1,2,1,1,2,1,2,3,1

%N a（N）是N的二进制展开式中“11”的出现次数。

%C a（n）在n=2^（k+1）-1时第一次取k值。参见A000225.-_Robert G.Wilson v_，2009年4月2日

%当n>2.时，C a（n）=A213629（n，3）_Reinhard Zumkeller，2012年6月17日

%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=0..10000的a（n）</a>

%H J.-P.Allouche，<a href=“http://math.colgate.edu/~integers/graham2/graham2.Abstract.html“>关于R.L.Graham 1970年论文中的不等式，integers 21A（2021），#A2。

%H Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，<a href=“https://doi.org/10.1007/BFb0097122“>数字和和Hurwitz zeta函数，见：K.Nagasaka和E.Fouvry（编辑），解析数论，数学课堂讲稿，第1434卷，Springer，Berlin，Heidelberg，1990年，第19-30页。

%H John Brillhart和L.Carlitz，<a href=“https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1970-0260955-6“>关于夏皮罗多项式的注释，《美国数学学会学报》，第25卷，第1期，1970年5月，第114-118页（扫描副本见A001782），定理4中的a（n）=指数。

%H Helmut Prodinger，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/0603004“>推广数字和函数，SIAM J.代数离散方法，第3卷，第1期（1982年），第35-42页。MR0644955（83f:10009）。[见第35页B_2（11，n）。-_N.J.A.Sloane，2014年4月6日]

%H Michel Rigo和Manon Stipulanti，<a href=“https://arxiv.org/abs/2103.16966“>根据有理基数记数系统重新审视规则序列，arXiv:2103.16966[cs.FL]，2021。提到这个序列。

%H Bartosz Sobolewski和Lukas Spiegelhofer，<a href=“https://arxiv.org/abs/2309.00142“>二进制扩展中的块出现</a>，arXiv:2309.0142[math.NT]，2023。

%H Ralf Stephan，《一些具有（相对）简单普通生成函数的分治序列》，2004年。

%H Ralf Stephan，生成函数表。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/DigitBlock.html“>数字块。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Rudin-ShapiroSequence.html“>Rudin Shapiro序列</a>。

%H<a href=“/index/Bi#binary”>为与n的二进制展开相关的序列的索引项</a>

%F a（4n）=a（4n+1）=a_Ralf Stephan，2003年8月21日

%F G.F.：（1/（1-x））*Sum_{k>=0}t^3/（（1+t）*（1+t^2）），其中t=x^（2^k）_Ralf Stephan，2003年9月10日

%F a（n）=A000120（n）-A069010（n）.-_Ralf Stephan，2003年9月10日

%F总和{n>=1}A014081（n）/（n*（n+1））=A100046（Allouche and Shallit，1990）_Amiram Eldar，2021年6月1日

%e 15的二进制展开式为1111，其中包含三次11，因此a（15）=3。

%p#在v的二进制展开中计算11..1（k次）的出现次数：

%p cn:=proc（v，k）局部n，s，nn，i，j，som，kk；

%p som:=0；

%pkk:=转换（cat（seq（1，j=1..k）），字符串）；

%pn:=转换（v，二进制）；

%p s：=转换（n，字符串）；

%p nn:=长度（s）；

%p表示i到nn-k+1 do

%p如果子串（s，i…i+k-1）=kk，则som:=som+1 fiod；

%p som；结束；#此程序不再有效。修订人：N.J.A.Sloane，2014年4月6日。

%p[seq（cn（n，2），n=0..300）]；

%p#备选方案：

%p A014081:=程序（n）选项记忆；

%p如果n mod 4<=1，则程序名（floor（n/4））

%p elif n mod 4=2，然后是procname（n/2）

%p其他1+进程名（（n-1）/2）

%功率因数

%p端程序：

%p A014081（0）：=0:

%p映射（A014081，[$0..1000]）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2015年9月4日

%t f[n_]：=计数[Partition[Integer Digits[n，2]，2，1]，{1，1}]；表[f@n，{n，0，104}]（*_Robert G.Wilson v_，2009年4月2日*）

%t表[SequenceCount[Integer Digits[n，2]，{1,1}，Overlaps->True]，{n，0120}]（*_哈维P.戴尔，2022年6月6日*）

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。位（（.&.））

%o a014081 n=a000120（n和.div n 2）--_Reinhard Zumkeller_，2012年1月23日

%o（PARI）A014081（n）=总和（i=0，#binary（n）-2，bitand（n>>i，3）==3）\\_M.F.Hasler_，2012年6月6日

%o（PARI）a（n）=汉明重量（位和（n，n>>1））；

%o矢量（105，i，a（i-1））\\_Gheorghe Coserea_，2015年8月30日

%o（Python）

%o def a（n）：返回和（[（（n>>i）&3==3），i在范围内（len（bin（n）[2:]）-1）]）#_Indranil Ghosh_，2017年6月3日

%o（Python）

%o来自重新导入拆分

%o def A014081（n）：如果d！=“”）#，则返回和（len（d）-1表示拆分中的d（'0+'，bin（n）[2:]）_柴瓦武，2022年2月4日

%Y参见A014082、A033264、A037800、A056973、A000225、A213629、A000120、A069010、A100046。

%Y第一个差异给出A245194。

%Y A245195给出2^a（n）。

%K nonn，基础，简单

%0、8

%西蒙·普劳夫（_Simon Plouffe）_