%I#127 2024年1月28日09:08:03
%S 1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,1,-1,-1,1,1,1,1,-1,
%T-1,-1,-1,-1-,-1,1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,
%U 1,1,1,1,1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,-1-,-1
%N Liouville函数lambda(N)=(-1)^k,其中k是素数除以N(以重数计算)。
%C Coons和Borwein:“我们给出了Fatou定理的一个新证明:如果一个代数函数有一个带有界整数系数的幂级数展开式,那么它一定是一个有理函数。这个结果被用来证明对于任何从N到{-1,1}的非平凡完全乘法函数,级数sum_{N=1..无穷}f(N)z^n是{z}[z]上的超越;特别地,sum{n=1..无穷大}lambda(n)z^n是超越的,其中lambda是Liouville函数。还证明了sum_{n=1..无穷大}mu(n)z^n的超越性。“-_Jonathan Vos Post_,2008年6月11日
%C Coons证明,对于任何k>2,a(n)都不是k自动的_Jonathan Vos Post,2008年10月22日
%Riemann假设等价于这样的陈述:对于每个固定ε>0,lim_{n->infinity}(a(1)+a(2)+…+a(n))/n^(1/2+ε)=0(Borwein等人,定理1.2)_Arkadiusz Wesolowski,2013年10月8日
%D T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第37页。
%D P.Borwein,S.Choi,B.Rooney和A.Weirathmueller,《黎曼假说:阿非西那多和阿列克病毒的资源》,施普林格,柏林,2008年,第1-11页。
%D H.Gupta,《关于L(n)值表》,《印度科学院院刊》。A部分,12(1940),407-409。
%D H.Gupta,刘维尔函数L(n)的值表,东潘贾布大学研究公报,第3期(1950年2月),45-55。
%D P.Ribenboim,《代数数》,第44页。
%D J.Roberts,《整数的诱惑》,数学。美国协会,1992年,第279页。
%D J.V.Uspensky和M.A.Heaslet,初等数论,纽约州麦格劳-希尔,1939年,第112页。
%H T.D.Noe,n的表格,n的a(n)=1..10000</a>
%H P.Borwein、R.Ferguson和M.J.Mossinghoff,<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-08-02036-X“>Liouville函数和的符号变化</a>,Math.Comp.77(2008),1681-1694。
%H Benoit Cloitre,<a href=“http://arxiv.org/abs/1107.0812“>相对湿度的陶博瑞方法</A>,arXiv:1170.0812[math.NT],2011。
%H Michael Coons和Peter Borwein,<a href=“http://arxiv.org/abs/0806.1563“>一些数论函数幂级数的超越性</a>,arXiv:0806.1563[math.NT],2008。
%H Michael Coons,<a href=“http://arxiv.org/abs/0810.3709“>(非)数论函数的自动性</a>,arXiv:0810.3709[math.NT],2008。
%H H.Gupta,《印度科学院院刊》,L(n)值表。A部分,12(1940),407-409。[带注释的扫描副本]
%H R.S.Lehman,<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5“>关于Liouville函数,《数学与计算机》,第14卷(1960年),第311-320页。
%H Andrei Vieru,<a href=“http://arxiv.org/abs/1306.0496“>欧拉常数作为黎曼ζ函数极点处的重整化值。与狄利克雷L函数相关的理性</a>,arXiv:1306.0496[math.GM],2015。
%H H.Walum,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X(80)90072-4“>模素数二次剩余列表和Liouville lambda函数值中的循环模式,J.Numb.理论12(1)(1980)53-56。
%H Eric Weisstein的数学世界,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LiouvilleFunction.html“>Liouville函数</a>
%H维基百科,<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_function网站“>Liouville函数</a>
%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引</a>
%H<a href=“/index/Eu#epf”>根据n的因式分解中的指数计算序列的索引项</a>
%F Dirichlet g.F.:zeta(2s)/zeta(s);A008966的Dirichlet逆。
%如果n是正方形,F和{d除以n}λ(d)=1,否则为0。
%F与a(p)=-1,p素数完全相乘。
%F a(n)=(-1)^A001222(n)=(-1)μbigomega(n).-_Jonathan Vos Post,2006年4月16日
%F a(n)=A033999(A001222(n))_雅罗斯拉夫·克里泽克,2009年9月28日
%F和{d|n}a(d)*(A000005(d))^2=a(n)*和{d*n}A000005_Vladimir Shevelev,2010年5月22日
%F a(n)=1-2*A066829(n).-_Reinhard Zumkeller,2011年11月19日
%F a(n)=i^(tau(n^2)-1),其中tau(n)是A000005,i是虚单位_安东尼·布朗,2016年5月11日
%F a(n)=A106400(A156552(n))。-_Antti Karttunen_,2017年5月30日
%F递归:a(1)=1,n>1:a(n)=符号(1/2-和{d<n,d|n}a(d))_Mats Granvik,2017年10月11日
%F a(n)=总和{d|n}A008683(d)*A010052(n/d)_王金源2019年4月20日
%F a(1)=1;a(n)=-和{d|n,d<n}μ(n/d)^2*a(d).-_伊利亚·古特科夫斯基,2021年3月10日
%F a(n)=(-1)^A349905(n)-_Antti Karttunen,2022年4月26日
%e a(4)=1,因为既然bigomega(4)=2(素数除数2被计算两次),那么(-1)^2=1。
%e a(5)=-1,因为5是素数,因此bigomega(5)=1和(-1)^1=-1。
%p A008836:=n->(-1)^numtheory[bigomega](n);#_Peter Luschny_,2011年9月15日
%p with(numtheory):A008836:=进程(n)局部i,it,s;它:=ifactors(n):s:=(-1)^add(it[2][i][2],i=1..nops(it[2])):返回结束:
%t表[LiouvilleLambda[n],{n,100}](*_Enrique Pérez Herrero_,2009年12月28日*)
%t表[If[OddQ[PrimeOmega[n]],-1,1],{n,110}](*_Harvey P.Dale_,2014年9月10日*)
%o(PARI){a(n)=如果(n<1,0,n=因子(n);(-1)^和(i=1,矩阵大小(n)[1],n[i,2]))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2006年1月1日*/
%o(PARI)a(n)=(-1)^bigomega(n)\\_Charles R Greathouse IV_,2013年1月9日
%o(哈斯克尔)
%o a008836=(1-)。(*2)。a066829--Reinhard Zumkeller,2011年11月19日
%o(Python)
%o来自sympy进口保理商
%o def A008836(n):如果sum(factorint(n).values())%2其他1#_Chai Wah Wu_,2022年5月24日,则返回-1
%Y参见A000005、A001222、A002053、A007421、A002819(部分总和)、A008683、A010052、A026424、A028260、A028488、A056912、A056911、A065043、A066829、A106400、A156552、A349905。
%A010052的Yöbius变换。
%Y参考A182448(s=2时的Dgf)、A347328(s=3时的D gf)和A347329(s=4时的D GF)。
%K符号,简单,漂亮,多特
%O 1,1号机组
%A _N.J.A.斯隆_
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