%I#230 2024年1月12日06:16:31
%S 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,41,43,47,53,59,61,67,73,79,83,
%电话89,97101103107109113127131137149151157163167173,
%电话:179181191193197199211223227223323924125125726926271
%N 20世纪初的素数(今天1不再被视为素数)。
%C1与素数一起;也称为非预设数字。
%C也是最大的非负整数序列,其性质是具有不同指数的2个或多个元素的乘积决不是平方Ulrich Schimke(ulrschimke(AT)aol.com),2001年12月12日【评论由_Farideh Firoozbakht_更正,2014年8月3日】
%C最大除数<=sqrt(k)等于1的数字k。(另请参见A161344、A161345、A161424)-OAmar E.Pol_,2009年7月5日
%C数k,使得d(k)<=2.-_Juri-Stepan Gerasimov,2009年10月17日
%C也是A163280中数组的第一列。也是A163990中的第一行阵列_Omar E.Pol,2009年10月24日
%C A136548(m)的可能值按递增顺序排列,其中A136548
%C A022404的记录值出现时:A086332(n)=A022403(a(n))。-_Reinhard Zumkeller,2010年6月21日
%C除了1和它本身没有除数的正整数(素数的旧定义)_Omar E.Pol_,2012年8月10日
%C猜想:序列正好包含那些k,因此sigma(k)>k*BigOmega(k)_Irina Gerasimova_,2013年6月8日
%关于Gerasimova猜想的注:序列中的所有项都明显满足不等式,因为素数p的σ(p)=1+p和BigOmega(p)=1,所以1+p>p*1。对于复合材料,(相反的)不等式在启发式上是正确的,至少在k≤4400000时是正确的。一般证明要求证明BigOmega(k)是复合k的丰度sigma(k)/k的上限。这个证明对于一般的半素数k=p1*p2来说很容易,其中sigma_R.J.Mathar,2013年6月12日
%C数字k,使φ(k)+σ(k)=2k.-Farideh Firoozbakht,2014年8月3日
%C isA008578(n)<=>k是{1,2,…,n-1}中所有k的素数到n_Peter Luschny_,2017年6月5日
%C在1751年,莱昂哈德·尤勒写道:“既然建立了这个符号S来表示它前面的数字的除数之和,那么很明显,如果p表示素数,那么Sp的值将是1+p,除非p=1,因为我们有S1=1,而不是S1=1+1。从这一点我们可以看出,我们必须将单位排除在素数序列之外,这样,作为整数的开始,单位既不是素数,也不是复合数。“-Omar E.Pol_,2021年10月12日
%Ca(1)=1;对于n>=2,a(n)是与前面所有项互素的最小未使用数_宋建宁,2022年5月28日
%C如果p=A*b==>A=1或b=1,则数字p为预印。这个序列列出了交换幺半群in\{0}.-中的预时间_Peter Luschny_,2022年8月26日
%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,美国国家标准局应用数学。1964年第55辑(以及各种重印本),第870页。
%D G.Chrystal,《代数:基础教科书》。切尔西出版公司,第7版,(1964年),第三章第7节,第38页。
%哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第11页。
%D H.D.Huskey,Derrick Henry Lehmer[1905-1991]。IEEE附录历史。计算。17(1995),第2期,第64-68页。数学。版本96b:01035
%D D.H.Lehmer,通用计算机的筛选问题。数学。表格和其他计算、数学辅助工具。表格和其他计算辅助工具,7,(1953年)。6-14. 数学。版次14:691e
%D D.N.Lehmer,“从1到10006721的素数列表”,卡内基研究所,华盛顿特区,1909年。
%D R.F.Lukes、C.D.Patterson和H.C.Williams,《数值筛分设备:历史和一些应用》。Nieuw拱门。威斯克。(4) 13(1995),第1期,113-139。数学。版次96m:11082
%D Williams,H.C。;Shallit,J.O.在计算机之前对整数进行因子分解。计算数学1943-1993:半个世纪的计算数学(温哥华,BC,1993),481-531,Proc。交响乐。申请。数学。,48,AMS,普罗维登斯,RI,1994年。数学。版次95m:11143
%H Charles R Greathouse IV,n表,n=1..10000的a(n)</a>
%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》,国家标准局,应用数学系列55,第十版,1972年[替代扫描件]
%H Chris K.Caldwell、Angela Reddick、Yeng Xiong和Wilfrid Keller,<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html“>The History of The Primality of One:A Selection of Sources(动态调查),《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.9.8号。
%H C.K.Caldwell和Y.Xiong,<a href=“http://arxiv.org/abs/1209.2007“>最小素数是什么?</a>、arXiv-print-arXiv:1209.2007[math.HO]、2012和<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.html“>J.Int.Seq.15(2012)#12.9.6</a>
%H Leonhard Euler,<a href=“http://eulerarchive.maa.org/backup/E175.html“>Découverte D'une loi tout extraordinare des nombres,par raportála somme de leurs diviseurs,收录于《公正图书馆》,1751年3月,第10-31页。重印于1862年1月的《波图玛歌剧》,第76-84页。Eneström指数中的第175位。
%H G.P.Michon,<a href=“http://www.numericana.com/answer/numbers.htm#1“>1是质数吗</a>
%H Omar E.Pol,<a href=“网址:http://www.polprimos.com/imagenespub/poldiv07.jpg“>初始术语说明</a>
%H Omar E.Pol,<a href=“http://www.polprimos.com/imagenespub/poldiv06.jpg“>A008578、A161344、A16134.5、A161424初始术语说明</a>
%H PrimeFan,<a href=“http://primefan.tripod.com/Prime1ProCon.html“>支持和反对1的首要性的论据</a>
%H A.Reddick和Y.Xiong,<A href=“http://math.furman.edu/~mwoodard/fuejum/content/2012/paper1_2012.pdf“>搜索一作为质数:从古希腊到现代</a>,《大学生数学电子杂志》,第16卷,第1卷{132012。-发件人:N.J.A.Sloane,2013年2月3日
%H J.Todd,<a href=“http://www.jstor.org/stable/2001950“>《莱默表、数学表和其他计算辅助工具评论》,第11卷,第60期,(1957年)(JSTOR.org)。
%H维基百科,<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Complete_sequence“>“完整”序列。[如果每个正整数都是不同项的总和,则维基百科将序列称为“完整”(sic)。此名称极具误导性,应避免使用。-N.J.a.Sloane_,2023年5月20日]
%H维基百科,<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_convolution“>Dirichlet卷积</a>
%F a(n)=A000040(n-1)。
%F m为序列iff sigma(m)+phi(m)=A065387(m)=2m_Farideh Firozbakht,2005年1月27日
%当n>=1.-时,F a(n)=A158611(n+1)_Jaroslav Krizek,2009年6月19日
%F在以下公式中(基于_Jaroslav Krizek_和_R.J.Mathar_的电子邮件),恒星表示两个序列之间的狄利克雷卷积,“This”是A008578。
%F此=A030014*A008683。(使用偏移量1与A030014的Dirichlet卷积)
%F此=A030013*A000012。(使用偏移量1与A030013的Dirichlet卷积)
%F此=A034773*A007427。(狄里克莱卷积)
%F此=A034760*A023900。(狄利克雷卷积)
%F此=A034762*A046692。(狄里克莱卷积)
%F本*A000012=A030014。(使用偏移量1与A030014的Dirichlet卷积)
%F本*A008683=A030013。(使用偏移量1与A030013的Dirichlet卷积)
%F这个*A000005=A034773。(狄里克莱卷积)
%F本*A000010=A034760。(狄里克莱卷积)
%F本*A000203=A034762。(狄里克莱卷积)
%F A002033(a(n))=1.-_Juri-Stepan Gerasimov,2009年9月27日
%F a(n)=A181363((2*n-1)*2^k),k>=0.-_Reinhard Zumkeller,2010年10月16日
%F a(n)=A001747(n)/2.-_Omar E.Pol,2012年1月30日
%F A060448(a(n))=1.-_Reinhard Zumkeller,2012年4月5日
%F A086971(a(n))=0.-_Reinhard Zumkeller,2012年12月14日
%F和{n>=1}x^a(n)=(和{n>=1}(A002815(n)*x^n))*(1-x)^2.-_L.Edson Jeffery,2013年11月25日
%p A008578:=n->如果n=1,则1为素数(n-1);图1:
%t连接[{1},表[Prime[n],{n,1,60}]]
%t NestList[NextPrime,157](*_Robert G.Wilson v_,2015年7月21日*)
%t oldPrimeQ[n_]:=AllTrue[Range[n-1],互质Q[#,n]&];
%t选择[范围[271],旧PrimeQ](*_Jean-François Alcover_,2017年6月7日,在_Peter Luschny_*之后)
%o(PARI)是(n)=i素数(n)||n==1
%o(Magma)[1]cat[n:n in PrimesUpTo(271)];//_布鲁诺·贝塞利(Bruno Berselli),2011年3月5日
%o(哈斯克尔)
%o a008578 n=a008578_列表!!(n-1)
%o a008578_list=1:a000040_list
%o--_Reinhard Zumkeller_,2011年11月9日
%o(鼠尾草)
%o isA008578=λn:全部(gcd(k,n)==1,对于(1..n-1)中的k)
%o打印([n表示(1..271)中的n,如果是A008578(n)])#_Peter Luschny_,2017年6月7日
%o(间隙)
%o A008578:=级联([1],已筛选([1..10^5],IsPrime));#_Muniru A Asiru_,2017年9月7日
%Y此序列的主条目是A000040。
%Y A002808的补码。
%Y参考A000732(boutrophedon变换)。
%Y参考A000010、A000203。
%Y参考A023626(自卷积)。
%不,简单,好
%O 1,2号机组
%A _N.J.A.斯隆_
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