%I#93 2020年12月29日07:06:51

%S 1,1，-1,1，-3,2,1，-6,11，-6.1，-10,35，-50,24,1，-15,85，-22574，-120,1，

%电话-21175、-7351624、-1764720、-1、-28322、-19606769、-1313213068、-5040、，

%U 1，-36546，-453622449，-67284118124，-10958440320,1，-45

%N第一类斯特林数三角形，s（N，N-k+1），N>=1，1<=k<=N。另外，三角形T（N，k）给出了N的展开系数*二项式（x，n）/x的x次幂。

%三角形的第n行=对角线上有（1,2,3，…）且其余为零的（n-1）X（n-1）矩阵的charpoly_Gary W.Adamson，2009年3月19日

%C From _Daniel Forgues_，2016年1月16日：（开始）

%C对于n>=1，[有符号值或绝对值]的行总和为

%C和{k=1..n}T（n，k）=0^（n-1），

%C和{k=1..n}|T（n，k）|=T（n+1，1）=n！。（结束）

%C概率密度函数p（x，m=q，n=1，mu=q）=q^q*x^（q-1）*E（x，q，1）/（q-1！，q>=1时，是M（a，M=q，n=1，mu=q）=Sum_{k=0..q}（A000312（q）/A000142（q-1））*A008276（q，k）*polylog（k，a）/a^q，见A163931和A274181_Johannes W.Meijer，2016年6月17日

%C多项式x（x-1）（x-2）系数的三角。。。（x-n+1），也称为下降阶乘（x）_n，展开为x.-Ralf Stephan的递减幂，2016年12月11日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。

%D F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。

%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《混凝土数学》，第二版（Addison-Wesley，1994），第257页。

%H T.D.Noe，<a href=“/A008276/b008276.txt”>三角形的行n=0..100，扁平</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/CovertIt/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年[替代扫描件]。

%H T.Copeland，<a href=“http://tcjpn.wordpress.com/2015/12/21/generators-inversion-and-matrix-binominal-and-integration-transforms/“>生成器、反演、矩阵、二项式和积分变换</a>

%H Bill Gosper，<a href=“/A008275/A008275.png”>第一类斯特林数三角形的彩色插图，阅读mod 2，3，4，5，6，7</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberofFirstKind.html“>第一类斯特林数</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Striling_numbers_and_exponential_generating_functions“>斯特林数和指数生成函数</a>

%不*二项式（x，n）=和{k=1..n-1}T（n，k）*x^（n-k）。

%F|A008276（n，k）|=T（n-1，k-1），其中T（n，k）是三角形，按行读取，由[1，0，1，0，l，…]DELTA[1，1，2，2，3，4，4，5，5，…]给出；A008276（n，k）=T（n-1，k-1），其中T（n，k）是按行读取的三角形，由[1，0，1，0，1，0，1，…]Δ[-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，-5，-5，…]给出。此处，DELTA是A084938中定义的运算符_菲利普·德雷厄姆，2003年12月30日

%F|T（n，k）|=和{m=0..n}A008517（k，m+1）*二项式（n+m，2*（k-1）），n>=k>=1。A008517是二阶欧拉三角形。参见Graham等人参考第257页，等式（6.44）。

%F A094638无符号T（n，k）的公式。

%F|T（n，k）|=Sum_{m=0..min（k-1，n-k）}A112486（k-1，m）*二项式（n-1，k-1+m），如果n>=k>=1，则为0.-_Wolfdieter Lang，2005年9月12日，见A112486。

%F|T（n，k）|=（F（n-1，k-1）/（2*（k-1））！）*求和{m=0..min（k-1，n-k）}A112486（k-1，m）*f（2*（k-1），k-1-m）*f（n-k，m），如果n>=k>=1，则为0，其中f（n，k）代表下降阶乘n*（n-1）**（n-（k-1））和f（n，0）：=1_Wolfdieter Lang，2005年9月12日，见A112486。

%F与P（n，t）=Sum_{k=0..n-1}t（n，k+1）*t^k=（1-t）*（1-2*t）**（1-（n-1）t）和P（0，t）=1，exp（P（.，t）*x）=（1+t*x）^（1/t）。比较A094638。T（n，k+1）=（1/k！）（D_T）^k（D_x）^n（（1+T*x）^（1/T）-1）在T=x=0时计算。-_汤姆·科普兰，2007年12月9日

%F Product_{i=1..n}（x-i）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k.-Reinhard Zumkeller_2，2007年12月29日

%例如：求和{n>=0}（求和{k=0..n}T（n，n-k）*T^k）/n！）=和{n>=0}（x）_n*t^k/n！=exp（x*log（1+t）），其中（x）n是第n个降阶乘多项式_Ralf Stephan，2016年12月11日

%F和{j=0..m}T（m，m-j）*s2（j+k+1，m）=m^k，其中s2（j，m）是第二类斯特林数_托尼·福斯特三世，2019年7月25日

%F对于n>=2，求和{k=1..n}k*T（n，k）=（-1）^（n-1）*（n-2）！.-_方紫正2020年12月27日

%e 3*二项式（x，3）=x*（x-1）*（x-2）=x^3-3*x^2+2*x。

%e三角形开始

%e 1；

%e 1，-1；

%e 1，-3，2；

%e 1、-6、11、-6；

%e 1、-10、35、-50、24；

%e 1、-15、85、-225、274、-120；

%e。。。

%p seq（seq（系数（展开（n！*二项式（x，n）），x，j），j=n..1，-1），n=1..15）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2016年1月24日

%p A008276:=进程（n，k）：组合[斯特林1]（n，n-k+1）结束：序列（序列（A008276（n，k），k=1..n），n=1..9）；#_Johannes W.Meijer_，2016年6月17日

%t长度=47；m=天花板[Sqrt[2*len]]；t[n_，k_]=搅拌S1[n，n-k+1]；扁平[表[t[n，k]，{n，1，m}，{k，1，n}][[1；；len]]（*_Jean-François Alcover_，2011年5月31日*）

%o（PARI）T（n，k）=如果（n<1,0，n！*polcoeff（二项式（x，n），n-k+1））

%o（PARI）T（n，k）=如果（n<1,0，n！*polcoeff（polcooff（y*（1+y*x+x*o（x^n））^（1/y），n），k））

%o（哈斯克尔）

%o a008276 n k=a008276_tabl！！（n-1）！！（k-1）

%o a008276_row n=a008276-tabl！！（n-1）

%o a008276_tabl=映射init$tail a054654_tabl

%o---Reinhard Zumkeller，2014年3月18日

%o（Sage）def T（n，k）：返回falling_factorial（x，n）.expand（）.系数（x，n-k+1）#_Ralf Stephan，2016年12月11日

%Y参见A008275和A048994，它们是这个数字三角形的主要条目。

%参见A008277第二类斯特林数三角形S2（n，k）。

%Y参考A054654、A054655、A084938、A145324、A094216、A003422、A000166、A000110、A0000204、A000045、A000108。

%Ksign，tabl，不错

%O 1,5型

%A _N.J.A.斯隆_