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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A007341号 n×n网格中生成树的数目。
M3721(原名)
15
1、4192100352、557568000、32565539635200、19872369301840986112、126231322912498539682594816、8326627661691818545121844900397056、5694319004079097795721572765328371712000、40325021721441185132768513497679249183623593590784、29545409939527880062287649870844432681584109009948478603264000 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

Kreweras称之为nxn网格的复杂性。

a(n)=由n×n个单元组成的完全迷宫的数目-勒罗伊·奎特2007年9月8日

还有去掉左上角的(2n-1)X(2n-1)正方形的多米诺瓷砖的数量。  对于n=2,去掉左上角的3 X 3正方形的4个多米诺瓷砖是:

. .___. . .___. . .___. . .___.

._|___| ._|___| ._| | | ._|___|

| |___| | | | | | |_|_| |___| |

|_|___| |_|_|_| |_|___| |___|_| -阿洛伊斯P。亨氏2011年4月15日

事实上,更多的是事实。设L表示顶点(i,j)的(2*n-1)X(2*n-1)平方格图,1<=i,j<=2*n-1。如果坐标i和j都是奇数,则称顶点(i,j)为奇数。然后在正方形nxn网格上的生成树集和L的domino平铺集之间存在一个双射,去掉了一个奇数边界点。见Tzeng和Wu,2002年。这是一个可除性序列,即如果n除m,则a(n)除a(m)-彼得·巴拉2014年4月29日

另外,a(n)是(n-1)X(n-1)网格图的沙堆群的阶数。这是因为nxn网格与(n-1)X(n-1)网格+下沉顶点是对偶的,后者是通过燃烧双射与沙堆相关的。见Já雷,秒。4.1或Redig,秒。2.2条。M。F。哈斯勒在下面的评论中,索引n指的是沙堆下面的网格大小-安德烈·扎博洛茨基2018年3月27日

M。F。哈斯勒2018年3月7日:(开始)

将两个n×n矩阵的沙堆加法(+)定义为普通加法,然后将大于3的每个元素减少4,其von Neumann邻域增加1。

对于任意n,存在一个中性元素e峎n,使得在e峎n的沙堆加法下不变的矩阵的集合S(n)={a in M_n({0..3})| a(+)en=a}形成一个群,即S(n)中的每个元素a在S(n)中都有一个逆a′,使得a(+)a'=eun(对于n>1,e逯n不能是零矩阵O逯n,因为对于这种选择,S(n)将包括,例如,所有1的矩阵1逯n,它不能有一个逆X,从而使1逯n(+)X=O逯n。元素e峎n是唯一的非零矩阵,因此e峎n(+)e_n=eïn。)

本序列列出了交换群的大小(S(n),(+),e\n)。请参阅示例部分了解e峎n。S(2)的元素列为A300006型它们的倒数列为A300007型. (结束)

参考文献

N。J。A。斯隆和西蒙·普劳夫,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

阿洛伊斯P。亨氏,n=1..45的n,a(n)表

诺亚·多曼,阿贝尔沙堆群的恒等式,格罗宁根大学学士论文(荷兰2020年)。

劳拉·弗洛雷斯库、丹妮拉·莫拉尔、大卫·帕金森、尼克·索尔特和徐天元,沙堆和多米诺骨牌《组合学电子杂志》,第22卷,第1期(2015年),论文#P1.66

路易斯·大卫·加西亚·普恩特和布莱迪·哈兰,沙堆,数字视频,YouTube.com,2017年1月13日

心塔尔A。Já拉伊,沙堆模型,arXiv:1401.0354[math.PR],2014年。

Germain Kreweras,复杂的电路和图形的结构,J。科布林。理论,B24(1978),202-212。

莱昂内尔·莱文和詹姆斯·普洛普,是什么。。。沙堆?,AMS通知,第57卷(2010年),第8号,976-979。

F。雷丁,阿贝尔沙堆模型的数学问题(2005年)

W、 ——J。Tzeng,F。是的。吴先生,超三次格和不可定向曲面上的生成树。arXiv:cond mat/0001408v1[cond mat.stat mech],2000年1月。

W、 ——J。郑和F。是的。吴先生,带空位的简单四次网上的二聚体,arXiv:cond mat/0203149v2[cond mat.stat mech],2002年3月。

埃里克·韦斯坦的数学世界,网格图

埃里克·韦斯坦的数学世界,生成树

大卫B。威尔逊,阿贝尔沙堆模型的局部统计(2014年)

可除序列索引

公式

a(n)=2^(n^2-1)/n^2*乘积{n1=0..n-1,n2=0..n-1,n1和n2不是都是0}(2-cos(Pi*n1/n)-cos(Pi*n2/n))。-Sharon Sela(sharonsela(AT)hotmail.com),2002年6月4日

等价地,a(n)=结果(U(n-1,x/2),U(n-1,(4-x)/2)),其中U(n,x)是第二类切比雪夫多项式。彼得·巴拉2014年4月29日

瓦茨拉夫·科特索维奇2020年12月30日:(开始)

a(n)~2^(1/4)*伽马(1/4)*exp(4*G*n^2/Pi)/(Pi^(3/4)*sqrt(n)*(1+sqrt(2))^(2*n),其中G是加泰罗尼亚常数A006752号.

a(n)=n*2^(n-1)*A007726号(n) ^2年(结束)

例子

M。F。哈斯勒2018年3月7日:(开始)

当n=1时,只存在一个0×0矩阵,e_0=[];它是单粒子群S(0)={[]}的中性元素。

当n=2时,沙堆加法与Z/4Z中的加法同构,中性元素为e_1=[0],得到群S(1)同构于(Z/4Z,+)。

对于n=3,我们发现e_2=[2,2;2,2]是沙堆加法的中性元素,仅限于S(2),有192个元素,如A300006型.

对于n=4,我们发现e_3=[2,1,2;1,0,1;2,1,2]是沙堆添加的中性元素,仅限于S(3),有100352个元素。

对于n=5,中性元素为e_4=[2,3,3,2;3,2,2,3;3,2,2,3;2,3,3,2](结束)

枫木

a: =n->round(evalf(2^(n^2-1)/n^2*mul(mul(`if`(j<>0或k<>0,2-cos(Pi*j/n)-cos(Pi*k/n),1),k=0..n-1),j=0..n-1),15+n*(n+1)/2)):序列(a(n),n=1..20);  #阿洛伊斯P。亨氏2011年4月15日

#将表达式用作结果

结果(简化(ChebyshevU(n-1,x/2)),简化(ChebyshevU(n-1,(4-x)/2)),x),n=1。。24)#彼得·巴拉2014年4月29日

数学

表[2^((n-1)^2)乘积[(2-Cos[Pi i/n]-Cos[Pi j/n]),{i,1,n-1},{j,1,n-1}],{n,12}]//四舍五入

表[结果[ChebyshevU[n-1,x/2],ChebyshevU[n-1,(4-x)/2],x],{n,1,12}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月15日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=polchebyshev(n-1,2,x/2),polchebyshev(n-1,2,(4-x)/2))}/*迈克尔·索莫斯2017年8月12日*/

交叉引用

主对角线A116469号.

囊性纤维变性。A300006型..A300009型;A256043号,A256045型.

上下文顺序:A012102号 A274304 1999年*A2516年 邮编:A159783 A028370号

相邻序列:  A033078号 A007339号 A007340*A007342号 A007343号 A007344号

关键字

,容易的

作者

N。J。A。斯隆

扩展

更多术语和更好的描述罗伯托E。马丁内斯二世2002年1月7日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年5月8日12:13。包含343666个序列(在oeis4上运行。)