%I M3482#187 2023年7月6日20:53:52

%第1,4.14,481645601912652822288760962598088870403028544页，

%电话：103400963530329612053292411525376140503552047091328，

%电话：1637829427255918994432190919389184651839567872

%N a（N）=4*a（N-1）-2*a（N-2），a（0）=1，a（1）=4。

%乔·基恩（Joe Keane）（jgk（AT）jgk.org）观察到，这个序列（从4开始）是“极限扑克中加薪的大小，一次盲目加薪，最大加薪”

%C该序列似乎是A002315的二项式均值变换-参见A075271。-_John W.Layman，2002年10月2日

%C数量（s（0），s（1）。。。，s（2n+3）），使得0<s（i）<8和|s（i，。。。，2n+3，s（0）=1，s（2n+3）=4。-_Herbert Kociemba，2004年6月11日

%C a（n）=（a+B+C+D）^n中不同矩阵乘积的数量，其中换向器[a，B]=[C，D]=0，但a和B都不与C或D交换。-保罗·D·汉纳和约书亚·扎克，2006年2月1日

%C序列的第n项是矩阵M=[1，-1；-1,3]的n次幂的项（1,2）_西蒙·塞韦里尼（Simone Severini），2006年2月15日

%该序列的C Hankel变换是[1，-2,0,0,0，0,0,1,0,0-0，…]_菲利普·德雷厄姆，2007年11月21日

%C A204089与A000225卷积，例如a（4）=164=（1*31+1*15+4*7+14*3+48*1）=（31+15+28+42+48）_Gary W.Adamson_，2008年12月23日

%C等于A000225的INVERT变换：（1，3，7，15，31，…）。-_Gary W.Adamson_，2009年5月3日

%C对于n>=1，a（n-1）是当有2^i-1不同类型的第i部分（i=1,2，…）时n的广义组成数_米兰Janjic_2010年9月24日

%A078057.-的C二项式变换_R.J.Mathar，2011年3月28日

%C皮萨诺周期长度：1，1，8，1，24，8，6，1，24,24，24，120，8，168，6，24，1，8,24，360，24_R.J.Mathar，2012年8月10日

%C a（n）是数组A228405的对角线_理查德·福伯格，2013年9月2日

%C From _Wolfdieter Lang，2013年10月1日：（开始）

%C a（n）与A106731一起出现，都用零点缀，表示四次代数数rho（8）=2*cos（Pi/8）=A179260的非负幂，这是最小对角线和正八边形中边的长度比。

%Cρ（8）的最小多项式是C（8，x）=x^4-4*x^2+2，因此ρ0，B（1）=0.，B（2*k+1）=A（k-1），k>=1。另请参见A049310下的P.Steinbach参考。（结束）

%C比率a（n）/A006012（n）收敛到1+sqrt（2）_Karl V.Keller，Jr.，2015年5月16日

%C来自Tom Copeland_，2015年12月4日：（开始）

%C这个序列的充气版本由o.g.f=1/（1-4x^2+2x^4）=1/[x^4a_4（1/x）]=1/行列式（I-xM）=exp[-log（1-4x+2x^3）]给出，其中M是A265185中给出的简单李代数B_4的邻接矩阵，特征多项式a_4，其中T表示第一类切比雪夫多项式。

%C A133314将a（n）与例如f.1-4x+4x^2/2！的倒数联系起来！。（结束）

%C a（n）是当i＝0时具有顶点e_（2*i+1）、e_（2*i+2）、e_（2*i+3）、e_（2*i+4）的n个单形的Minkowski和的顶点数，。。。，n-1，其中ei是标准基向量_Alejandro H.Morales，2022年10月3日

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Reinhard Zumkeller，n的表格，n=0..1000的a（n）</a>

%H C.Bautista-Ramos和C.Guillen-Galvan，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Bautista/bautista4.html“>广义Zykov和的Fibonacci数</a>，J.Integer Seq.，15（2012），第12.7.8条

%H A.Bernini、F.Disanto、R.Pinzani和S.Rinaldi，<A href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Rinaldi/rinaldi5.html“>定义凸置换氨基的置换</a>，《国际期刊》第10期（2007）第07.9.7页

%H A.Burstein、S.Kitaev和T.Mansour，<A href=“http://arXiv.org/abs/math.CO/0310379“>某些类（几乎）正则图中的独立集</a>，arXiv:math/0310379[math.CO]，2003。

%H Tomislav Doslic，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s10910-013-0167-2“>平面多环图及其Tutte多项式，《数学化学杂志》，2013年第6期，第51卷，第1599-1607页。（见Cor.3.7（e）。）

%H Tomislav Doslic和I.Zubac，<a href=“http://amc-journal.eu/index.php/amc/article/view/851“>计算线性聚合物中的最大匹配</a>，当代数学11（2016）255-276。

%H G.Dresden和Y.Li，<a href=“https://arxiv.org/abs/2210.04322“>二项式系数的周期加权和</a>，arXiv:2210.04322[math.NT]，2022。

%H L.Escobar、P.Gallardo、J.González-Anaya、J.L.González、G.Montüfar和A.H.Morales，<A href=“https://arxiv.org/abs/2209.14978“>用广义全自面体枚举最大池响应，arXiv:2209.14978[math.CO]，2022。（见示例5.1）

%H S.Falcon，<a href=“http://dx.doi.org/10.9734/BJMCS/2014/11783“>k-Fibonacci序列的迭代二项式变换，英国数学与计算机科学杂志，4（22）：2014。

%H Pamela Fleischmann、Jonas Höfer、Annika Huch和Dirk Nowotka，<a href=“https://arxiv.org/abs/2306.14192“>alpha-beta-制造和Simon同余的二进制案例，arXiv:2306.14192[math.CO]，2023。

%H A.S.Fraenkel和C.Kimberling，<A href=“网址：http://dx.doi.org/10.1016/012-365X（94）90259-3“>Generalized Wythoff arrays，shuffle and interspersions，《离散数学》126（1-3）（1994）137-149。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=440“>组合结构百科全书440</a>

%H LászlóNémeth和LászlóSzalay，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL24/Nemeth/nemeth8.html“>涉及方形Zig-Zag形状的序列，J.Int.Seq.，第24卷（2021年），第21.5.2条。

%H J.Riordan，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2005477“>连接圆上2n个点对的和弦交叉点的分布，《数学比较》，29（1975），215-222。

%H J.Riordan，连接圆上2n个点对的弦的交叉分布，数学。公司。，29 (1975), 215-222. [带注释的扫描副本]

%H Michael Z.Spivey和Laura L.Steil，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Spivey/spivey7.html“>《k二项式变换和汉克尔变换》，J.Integ.Seqs.第9卷（2006年），#06.1.1。

%H<a href=“/index/Poi#poker”>为扑克相关序列的索引条目</a>

%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-2）。

%F G.F.：1/（1-4x+2x^2）。

%F前面是0，这是Pell数A000129的二项式变换。其例如f.是exp（2x）*sinh（sqrt（2）x）/sqrt（1）_保罗·巴里，2003年5月9日

%F a（n）=（（2+sqrt（2））^（n+1）-（2-sqrt（2））^（n+1））/sqrt（8）-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2008年12月27日，2011年3月28日更正

%F a（n）=（2-sqrt（2））^n*（1/2-sqrt_保罗·巴里，2003年5月9日

%F a（n）=天花板（（2+平方米（2））*a（n-1））_Benoit Cloitre_，2003年8月15日

%F a（n）=U（n，sqrt（2））*sqrt

%Fa（n）=（1/4）*Sum_｛r=1..7}sin（r*Pi/8）*sin（r*Pi/2）*（2*cos（r*Pi/8））^（2n+3））。-_Herbert Kociemba_，2004年6月11日

%F a（n）=M^n*[1 1 1]中的中心项，其中M=3 X 3矩阵[1 1 1/1 2 1/1 1]。M^n*[1 1 1]=[A007052（n）a（n）A007051（n）]。例如，a（3）=48，因为M^3*[1 1 1]=[34 48 34]，其中34=A007052（3）。-_加里·亚当森，2004年12月18日

%F这是A002307的二项式平均变换。参见Spivey和Steil（2006）Michael Z.Spivey（mspivey（AT）ups.edu），2006年2月26日

%F a（2n）=和{r=0..n}2^（2n-1-r）*（4*二项式（2n-1,2r）+3*二项法（2n-1.2r+1））a（2n-1）=和}r=0..n}2^_Jeffrey Liese，2006年10月12日

%F a（n）=3*a（n-1）+a（n-2）+a（n-3）+…+a（0）+1.-_Gary W.Adamson_，2011年2月18日

%固定系数：1/（1-4*x+2*x^2）=1/（x*（1+U（0）））-1/x，其中U（k）=1-2^k/（1-x/（x-2^k/U（k+1）））；（连分数第3类，3步）_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年12月5日

%F G.F.:A（x）=G（0）/（1-2*x），其中G（k）=1+2*x/（1-2*x）/（x+（1-2*x）/G（k+1））；（递归定义的连分数）_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年1月4日

%F G.F.:G（0）/（2*x）-1/x，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k-1）/（x*（2%k+1）-（1-x）/G（k+1））；（连分数）。-_Sergei N.Gladkovskii_，2013年5月26日

%F a（n-1）=和{k=0..n}二项式（2*n，n+k）*（k|8），其中（k|9）是克罗内克符号_格雷格·德累斯顿，2022年10月11日

%e a（3）=48=3*4+4+1+1=3*a（2）+a（1）+a（0）+1。

%e八边形ρ（8）幂的示例：ρ（八）^4=2+sqrt（2）=-2*1+4*rho（8）^2=A（5）*1+A（4）*rho_Wolfdieter Lang，2013年10月1日

%p A007070:=过程（n）选项记忆；如果n=0，则1 elif n=1，然后4其他4*进程名（n-1）-2*进程名；fi；结束时间：

%p序列（A0007070（n），n=0..30）；#_Wesley Ivan Hurt_，2015年12月6日

%t线性递归[{4，-2}，{1,4}，30]（*哈维·P·戴尔，2014年9月16日*）

%o（PARI）a（n）=波尔科夫（1/（1-4*x+2*x^2）+x*o（x^n），n）

%o（PARI）a（n）=如果（n<1,1，ceil（（2+sqrt（2））*a（n-1））

%o（鼠尾草）[lucas_number1（n，4,2）for n in range（1，24）]#_Zerinvary Lajos_，2009年4月22日

%o（岩浆）Z<x>：=多项式环（整数（））；N<r>：=数字字段（x^2-8）；S： =[[0..20]]中的[（4+r）^（1+n）-（4-r）^（1+n））/（2^（l+n））*r）：n；[整数（）！S[j]：[1..#S]]中的j；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年3月27日

%o（岩浆）[n le 2选择3*n-2其他4*Self（n-1）-2*Self:n in[1..23]]；//_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2011年3月28日

%o（哈斯克尔）

%o a007070 n=a007070_列表！！n个

%o a007070_list=1:4:（map（*2）$zipWith（-）

%o（尾部$map（*2）a007070_list）a00770_list

%o——Reinhard Zumkeller，2012年1月16日

%A059474的Y行总和。-_David W.Wilson，2006年8月14日

%Y参考A007052、A006012（相同重复）。

%Y等于2*A003480，n>0。

%Y参考A007052。

%A140071的Y行总和。

%Y参见A127672、A265185、A133314。

%K nonn，简单

%O 0,2

%A _N.J.A.Sloane、Mira Bernstein、Simon Plouffe_