在下列公式中,[…]_2表示转换为基数2。
a(n)=[Sum_{i=0..n}(二项式(n,i)mod 2)2^i]_2,n>=0。
从第n行开始,0<=n<=2^k-1,k>=0,为
a(n)=[Product_{i=0..k-1}(F_i)^(alpha_i)]_2,{0,1}中的alpha_i,
其中,对于k=0,我们得到空积,即1,给定a(0)=1,
我们从三角形中得出第2^k+n行,0<=n<=2^k-1是
a(2^k+n)=a(n)*[F_k]_2,k>=0。
丹顿·休吉尔的身份(参见链接):
a(n)=[产品{i>=0}(F_i)^(地板(n/2^i)模块2)]_2,F_i=2^(2^i)+1。
a(0)=1;a(n)=[产品{i=0..floor(log_2(n))}(F_i)^(floor(n/2^i)mod 2)]_2,F_i=2^(2^i)+1,n>=1。(结束)
和{n>=0}1/a(n)^r=Product_{k>=0{(1+1/(10^(2^k)+1)^r),
和{n>=0}(-1)^A000120号(n) /a(n)^r=Product_{k>=0}(1-1/(10^(2^k)+1)^r),其中r>0是实数。
特别地,
和{n>=0}1/a(n)=Product_{k>=0{(1+1/(10^(2^k)+1))=1.10182034。。。;
a(2^n)=10^(2^n)+1,n>=0。
注意,Stephan极限公式的类比(见Shevelev链接)可简化为关系式a(2^t*n+2^(t-1))=99*(10^(2^(t-1)+1))/(10^(2^(t-1,)-1)*a(2*n+2(t-2)-2),t>=2。特别是,对于t=2,3,4,我们有以下公式:
a(4*n+2)=101*a(4*n);
a(8*n+4)=(10001/101)*a(8*n+2);
a(16*n+8)=(100000001/1010101)*(16*n+6)等(结束)
a(2*n+1)=11*a(2*n)。
a(n)=Product_{b_j!=0}a(2^j)其中n=Sum_{j>=0}b_j*2^j是n的二进制表示。
(结束)
|