%I M5119#50 2019年6月2日11:26:17

%S 1,1,2167118032320898423742636270518744094670555099063967524835，

%电话：224677786836681835249012296790918386363169487304983648674125113，

%电话：55597491617564842809056269514068102366133804952340851408511230442295910538475633061651918089

%Pi的N A系列。

%卢克（见参考文献）中的C公式（21）：设y=4*n+1。那么对于n->oo

%C Pi~4*（n！）^4*2^（4*n）/（y*（2*n）！）^2） *（sum_｛k>=0｝（（-1）^k*y^（-2*k）*A006934（k）/A123854（k））^2。（卢克没有引用这种形式的序列。）-Peter Luschny_，2014年3月23日

%C这可能与N.Elezovic“中心二项式的渐近展开…”，J.Int.Seq中等式（18）的分子有关。17 (2014) # 14.2.1. - _R.J.Mathar，2014年3月23日

%C几个参考文献给出了错误的值1874409465055，而不是pi.-公式中的a（7）_M.F.Hasler，2014年3月23日

%D Y.L.Luke，《特殊函数及其近似》，第1卷，纽约学术出版社，1969年，见第36页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H J.L.Fields，<a href=“https://doi.org/10.1017/S0013091500013171“>关于伽马函数比率渐近展开的注记，《爱丁堡数学学报》（15），43-451966。

%H A.Gil，J.Segura，N.M.Temme，<A href=“http://dx.doi.org/10.1093/imanum/drq012“>快速准确计算韦伯抛物线圆柱函数W（a，x）</a>，IMA J.Num.Anal.31（2011），1194-1216，eq（3.8）。

%H A.Lupas，<A href=“http://mathforum.org/kb/message.jspa？messageID=457303“>回复：Pi计算？</a>，mathforum.org，2003年2月15日。

%H C.Mortici，<a href=“http://www.emis.de/journals/BMAA/repository/docs/BMAA2-4-17.pdf“>关于圆周率的一些准确估计，《公牛数学分析应用2（4）》（2010）137-139。（公式（1.5），与卢克中的相同拼写错误）

%H<a href=“/index/Ph#Pi314”>与数字Pi相关的序列的索引条目</a>

%F设p（n，x）=和（k=0..n，x^k*A220412（n，k））/A220411（n），则a（n）=（-1）^n*p（n、1/4）*A123854（n）*A001448（n）_Peter Luschny_，2014年3月23日

%F Pi=lim_{n->oo}2^{4n+2}/（（4n+1）*C（2n，n）^2）*（sum_{k=0..oo}（-1）^k*a（k）/（A123854（k）*（4n+1）^{2k}））^2.-_M.F.Hasler_，2014年3月23日

%p A006934_list:=proc（n）局部k，f，bp；

%p bp：=proc（n，x）选项记忆；局部k；如果n=0，则1 else-x*add（二项式（n-1,2*k+1）*bernoulli（2*k+2）/（k+1）*bp（n-2*k-2，x），k=0..n/2-1）fi结束：

%pf:=n->2^（3*n-加（i，i=转换（n，基数，2）））；

%p加（bp（2*k，1/4）*二项式（4*k，2*k）*x^（2*k），k=0..n-1）；

%p序列（（-1）^k*f（k）*系数（%，x，2*k），k=0..n-1）结束：

%p A006934_列表（15）；#_Peter Luschny_，2014年3月23日

%p#第二种解决方案，不使用基于欧拉数的Nörlund广义伯努利多项式：

%p A006934_list:=进程（n）局部a，c，j；

%pc:=n->4^n/2^加（i，i=转换（n，基数，2））；

%p a：=[seq（（-4）^j*euler（2*j）/（4*j），j=1..n）]；

%p展开（exp（加上（a[j]*x^（-j），j=1..n））；泰勒（%，x=无穷大，n+2）；

%p subs（x=1/x，convert（%，polynom））：序列（c（iquo（j，2））*系数（%，x，j），j=0..n）结束：

%p A006934_list（14）；#_Peter Luschny_，2014年4月8日

%t A006934List[n_]：=模块[{c，a，s，sx}，c[k_]：=4^k/2^Total[整数位数[k，2]]；a=表[（-4）^j EulerE[2j]/（4j），{j，1，n}]；s[x_]=级数[Exp[Sum[a[[j]]x^（-j），{j，1，n}]]，{x，无穷大，n+2}]//正态；sx=s[1/x]；表[c[商[j，2]]系数[sx，x，j]，{j，0，n}]]；

%t A006934列表[14]（*_Jean-François Alcover_，2019年6月2日，来自第二个枫叶项目*）

%o（鼠尾草）

%o@CachedFunction

%o定义p（n）：

%o如果n<2：返回1

%o返回-加法（二项式（n-1，k-1）*bernoulli（k）*p（n-k）/k，对于范围（2，n+1，2）中的k）/2

%o定义A006934（n）：返回（-1）^n*p（2*n）*二项式（4*n，2*n

%o[A006934（n）代表（0..14）中的n]#_Peter Luschny_，2014年3月24日

%Y参考A088802、A123854、A220412。

%K nonn公司

%0、3

%A·西蒙·普劳夫和N·J·A·斯隆_

%E a（7）已纠正，a（8）-a（14）来自P eter Luschny_，2014年3月23日