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配方奶粉
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该序列是两个序列在奇偶指数下的混合,分别具有线性递归,因此总的来说是线性递归。
对于偶数n,加德纳参考给出了公式a(n)=n(2n^2-5)/3+2,即
4,3813633065211341808270638605302,n=2,4,6,8,。。。
递归a(n)=4a(n-1)-6a(n-2)+4a(n-3)-a(n-4),因此g.f.-2*(-2-11*x-4*x^2+x^3)/(x-1)^4(偏移量0)(参见A152110型).
对于n奇数,加德纳参考给出了a(n)=n(2n^2-5)/3+1,即
0,14,7621847287014422263242484542614080741037613078,n=1,3,5,7,。。。
具有相同的复发和g.f.-2*x*(-7-10*x+x^2)/(x-1)^4(偏移量0)。
因为第一个零与序列不匹配,应该是1,所以我们在g.f.中加1:
1,14,76,218,472,870,1444,2226,3248,4542,6140,8074,10376,13078,... (请参见A152100型),
例如:1-2*x*(-7-10*x+x^2)/(x-1)^4。
我们通过在每个第二个位置插入零来“充气”两个序列,
这意味着生成函数中的x->x^2,
4,0,38,0,136,0,330,0,652,0,1134,0,1808,0,2706,0,3860,0,5302
g.f.-2*(-2-11*x^2-4*x^4+x^6)/(x^2-1)^4(偏移量0)。
1,0,14,0,76,0,218,0,472,0,870,0,1444,0,2226,0,3248,0,4542,0,6140,...
g.f.1-2*x^2*(-7-10*x^2+x^4)/(x^2-1)^4。
将第一个值乘以x,将其右移一位:
0,4,0,38,0,136,0,330,0,652,0,1134,0,1808,0,2706,0,3860,0,5302
g.f.-2*x*(-2-11*x^2-4*x^4+x^6)/(x^2-1)^4。
这两者的总和是
1-2*x^2*(-7-10*x^2+x^4)/(x^2-1)^4-2*x*(-2-11*x^2-4*x^4+x^6)/(x^2-1)^4=
(x^5-5x^4+6x^3+4x^2+x+1)/((x-1)^4/(x+1))。
如果偏移量为0,那么这就是普劳夫g.f。
综上所述:a(n)=3 a(n-1)-2 a(n-2)-2a(n-3)+3a(n-4)-a(n-5),n>6。
a(2n)=2+2*n*(8n^2-5)/3,n>=1。a(2n+1)=2n(1+8n^2+12n)/3,n>=1。
通用格式:x*(x^5-5x^4+6x^3+4x^2+x+1)/((x-1)^4/(x+1))。(结束)
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