%I M4128#227 2024年3月8日16:13:32

%S 0,1,6,19,44,85146231344489670891115614691834225527363281，

%电话：3894457953406181710681199224104251172613131146416269，

%电话：180101987121856239692621428593111633781365943955942680

%N八面体数：a（N）=N*（2*N^2+1）/3。

%g.f.的C系列反转：A（x）是和{n>0}-A066357（n）（-x）^n。

%C居中平方数A001844.-的部分和_保罗·巴里（Paul Barry），2003年6月26日

%C同样作为a（n）=（1/6）*（4n^3+2n），n>0：结构四方金刚石数（顶点结构5）（参见A000447-结构金刚石）；和结构化三角反棱镜数（顶点结构5）（参见A100185-结构化反棱镜）。有关结构化多面体数的更多信息，请参阅A100145James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日

%C此多面体的Schlaefli符号：{3,4}。

%C如果X是一个n集，Y和Z是X的不相交的2个子集，那么a（n-4）等于X的5个子集的数量，这些子集同时相交于Y和Z。-Milan Janjic_，2007年8月26日

%C从1=[1,5,8,4,0,0,0，…]的二项式变换开始，其中（1,5,8,1）=切比雪夫三角形A081277的第3行_Gary W.Adamson，2008年7月19日

%C a（n）=（1+…+x^（n-1））^4的最大系数_R.H.Hardin，2009年7月23日

%C（1+6x+19x^3+…）的卷积平方根=（1+3x+5x^2+…）=A005408（x）.-_Gary W.Adamson，2009年7月27日

%C从偏移量1开始=与[1，3，4，4，…]卷积的三角级数。-_Gary W.Adamson，2009年7月28日

%C五个柏拉图多面体（四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体）数之一（参见A053012）_Daniel Forgues_，2010年5月14日

%设b是四个不同素数的乘积。那么b^n的除数格的宽度为a（n+1）_Jean Drabbe，2010年10月13日

%C出现在Bezdek关于同余球形填料接触数的证明中（见预印本）_Jonathan Vos Post，2011年2月8日

%长度2序列的C-Euler变换[6，-2]_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年3月27日

%Ca（n+1）是所有项都在{0,1，…，n}中的2X2矩阵的个数，并且（项的和）=2n.-_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2012年3月19日

%C a（n）是最大元素<=n.-Alois P.Heinz_，2012年3月22日，3个分区上的半标准杨表数

%C奇数的自卷积_Reinhard Zumkeller，2012年4月4日

%C a（n）是{1，…，n}和w+x=y+z中所有项的（w，x，y，z）数；2012年6月2日，{0，…，n}和|w-x|<=y.-_Clark Kimberling_中所有项的（w，x，y，z）数

%C序列是（0，1，3，4，4，…）的第三部分和_Gary W.Adamson_，2015年9月11日

%Ca（n）是关于强Bruhat阶的B_n型Weyl群中的连接不可约元素的数目_Rafael Mrden，2020年8月26日

%D H.S.M.Coxeter，《多面体数》，R.S.Cohen、J.J.Stachel和M.W.Wartofsky编辑的第25-35页，为Dirk Struik:纪念Dirk J.Struik的科学、历史和政治论文，Reidel，Dordrecht，1974年。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n的表格，n=0..1000时的a（n）</a>

%H X.Acloque，<a href=“http://members.fortunecity.fr/polinexeus/index.html“>Polynexus数字和其他数学奇迹

%H Karoly Bezdek，<a href=“http://arxiv.org/abs/102.1198“>一致球形填料的联系电话，arXiv:1102.1198[math.MG]，2011。

%H马特奥·卡瓦莱里（Matteo Cavaleri）和阿尔弗雷多·多诺（Alfredo Donno），<a href=“https://arxiv.org/abs/1805.09368“>图的圈积的一些基于度和距离的不变量</a>，arXiv:1805.08989[math.CO]，2018。

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%H米兰Janjic，<a href=“http://www.pmfbl.org/janjic/“>两个枚举函数</a>

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%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>关于génératrices和quelques猜想的近似</a>，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[数学.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年

%H.B.K.Teo和N.J.A.Sloane，<A href=“http://neilsloane.com/doc/magic1/magic1.pdf“>多边形和多面体簇中的幻数</a>，Inorgan.Chem.24（1985），4545-4558。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/OctahedralNumber.html“>八面体数</a>。

%双向无限序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_04”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-6,4，-1）。

%F a（n）=1^2+2^2+…+（n-1）^2+n^2+（n-1，^2+…+2^2 + 1^2. - _Amarnath Murthy，2001年5月28日

%传真：x*（1+x）^2/（1-x）^4。a（n）=-a（-n）=（2*n^3+n）/3。

%F a（n）=（（（n+1）^5-n^5）-（n^5-（n-1）^5））/30.-Xavier Acloque，2003年10月17日

%F a（n）是乘积pq的和，其中p和q都是正数和奇数，p+q=2n，例如a（4）=7*1+5*3+3*5+1*7=44_乔恩·佩里（Jon Perry），2005年5月17日

%F a（n）=4*二项式（n，3）+4*二项法（n，2）+二项式_米奇·哈里斯，2006年7月6日

%F a（n）=二项（n+2,3）+2*二项（n+1,3）+二项（n，3），（这一对是广义的；参见A014820，4-交叉多面体数）。

%F和{n>=1}1/a（n）=3*gamma+3*Psi（（I*（1/2））*sqrt（2））-（1/2）*（3*I）*Pi*coth（（1/2）*Pi*sqrt_Stephen Crowley，2009年7月14日

%F a（n）=A035597（n）/2.-_J.M.Bergot，2012年6月11日

%F a（n）=A000578（n）-2*A000292（n-1），对于n>0.-_J.M.Bergot，2014年4月5日

%F a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4），n>3_Wesley Ivan Hurt_，2015年9月11日

%例如：（1/3）*x*（3+6*x+2*x^2）*exp（x）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2017年3月16日

%F a（n）=（A002061（A002061（n+1））-A002061（A002061（n）））/6.-_Daniel Poveda Parrilla，2017年6月10日

%当n>1时，F a（n）=6*a（n-1）/（n-1）+a（n-2）_Seiichi Manyama，2018年6月6日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）*a（n+1。参见A142983_Peter Bala，2024年3月6日

%总长度=x+6*x^2+19*x^3+44*x^4+85*x^5+146*x^6+231*x^7+。。。

%p al：=过程（s，n）二项式（n+s-1，s）；结束；be：=proc（d，n）局部r；加法（（-1）^r*二项式（d-1，r）*2^（d-1-r）*al（d-r，n），r=0..d-1）；结束；[seq（be（3，n），n=0..100）]；

%p A005900：=（z+1）**2/（z-1）**4；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%p与（组合）：seq（fibonacci（4,2*n）/12，n=0..40）；#_Zerinvary Lajos，2008年4月21日

%t表[（2n^3+n）/3，{n，0,40}]（*或*）线性递归[{4，-6,4，-1}，{0,1,6,19}，50]（*H arvey P.Dale_，2013年10月10日*）

%t系数列表[系列[x（1+x）^2/（1-x）^4，{x，0，45}]，x]（*_文森佐·Librandi_，2015年9月12日*）

%o（PARI）{a（n）=n*（2*n^2+1）/3}；

%o（PARI）concat（[0]，Vec（x*（1+x）^2/（1-x）^4+o（x^50））

%o（哈斯克尔）

%o a005900 n=总和$zipWith（*）赔率$reverse赔率

%o其中赔率=取n a005408_list

%o a005900_list=扫描（+）0 a001844_list

%o——Reinhard Zumkeller，2013年6月16日，2012年4月4日

%o（Maxima）标记列表（n*（2*n^2+1）/3，n，0，20）；/*_Martin Ettl，2013年1月7日*/

%o（岩浆）[n*（2*n^2+1）/3:n in[0..50]]；//_Wesley Ivan Hurt_，2015年9月11日

%o（岩浆）I:=[0,1,6,19]；[n le 4选择I[n]else 4*Self（n-1）-6*Self-（n-2）+4*Self-Self（n-3）-4:n in[1..50]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年9月12日

%o（Python）

%o定义a（n）：返回n*（2*n*n+1）//3

%o打印（[a（n）代表范围（41）内的n）]#_Michael S.Branicky_，2021年9月3日

%Y两个连续项之和表示A001845。参见A001844。

%Y 1/12*t*（n^3-n）+n表示t=2,4,6。。。给出A004006、A006527、A006003、A005900、A004068、A000578、A004126、A000447、A004188、A004466、A00446、A007588、A062025、A063521、A06352、A063532。

%Y参考A022521。

%Y参考A081277。

%A210391的Y行n=3。-_Alois P.Heinz，2012年3月22日

%Y参考A005408。

%Y参见A053676、A053677和A053678。

%Y参考A002061。

%Y参考A000292（四面体数）、A000578（立方体）、A006566（十二面体数）和A006564（二十面体数”）。

%Y相似序列：A014820（n-1）（m=4）、A069038（m=5）、A068039（m=6）、A099193（m=7）、A099695（m=8）、A099%（m=9）、A099.197（m=10）。

%K nonn，简单

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_