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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A005721号 中心四项系数。
(原名M3681)
9
1、4、44、580、8092、116304、1703636、25288120、379061020、572495544、86981744944、1327977811076、20356299454276、313095240079600、48295713094888760、74683398325804080、1157402982351003420、17971185794898859248 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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四项系数三角形第n行项的平方和A008287号(四阶帕斯卡三角形)。-阿迪·达尼2011年7月3日

三角形中心系数A008287号((1+x+x^2+x^3)^n),请参阅链接。-扎格罗斯·拉洛2018年9月25日

参考文献

五十、 Comtet,《高级组合学》,Reidel,1974年,第78页。

Shara Lalo和Zagros Lalo,《多项式展开定理和数字三角形》,Zana出版社,2018年,ISBN:978-1-9995914-0-3,第601、602页。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

罗伯特·以色列,n=0..597的n,a(n)表(T.D.Noe的前101个术语)

阿迪·达尼,自然数的限制合成截面:广义Pascal三角形

R、 K.盖伊,写给N.J.A.Sloane的信,1987年

扎格罗斯·拉洛,三角形A008287((1+x+x^2+x^3)^n)的中心系数公式。

公式

a(n)=A005190型(2*n)=A008287号(2*n,3*n)。

G、 f.:设Z(x)为(-1+16*x)*(32*x-27)^2*Z^6+9*(-9+64*x)*(32*x-27)*Z^4+81*(80*x-27)*Z^2+729=0,Z(0)=1。在x=0时计算Z(x)的Puiseux级数,然后在C[[x^(1/3)]]中计算Z(x)。去掉x的所有非整数次幂。结果是A005721号.  -马克·范霍伊2011年10月29日

G、 f.:f(G^(-1)(x)),其中f(t)=(t^2-1)*(6*t+t^2+1)^(1/2)/(3*t^3+13*t^2+t-1)和G(t)=t/((t+1)^2*(6*t+t^2+1))。-马克·范霍伊2011年10月30日

布拉德利·克莱2018年6月25日:(开始)

128*(n-1)*(2*n-3)*(2*n-1)*(5*n-1)*a(n-2)-8*(2*n-1)*(145*n^3-319*n^2+201*n-30)*a(n-1)+3*n*(3*n-2)*(3*n-1)*(5*n-6)*a(n)=0。

G、 f.G(x)满足Picard-Fuchs型微分方程,0=和{m=0..5,n=0..3}m{m,n}x^m*(d^n/dx^n G(x)),矩阵为整数:

{24米,{0,0,

{-7681488,-54,0},

{6144,-16128,2520,-27},

{556,296},

{0,0,49152,-7936},

{810,0}(结束)

a(n)=和{k=0..floor(3n/4)}(-1)^k二项式(2n,k)*二项式(5n-4k-1,3n-4k)。-阿西鲁2018年9月26日

a(n)=和{i=0..n}和{j=n..2n}(f);f=((2*n)!/(j-n)!*(3*n+i-2*j)!*(j-2*i)!*我!))当(3*n+i-2*j)<0或(j-2*i)<0时,f=0。另请参见链接部分的公式。-扎格罗斯·拉洛2018年9月27日

枫木

F:=(t^2-1)*(6*t+t^2+1)^(1/2)/(3*t^3+13*t^2+t-1);G:=t/((t+1)^2*(6*t+t^2+1));

Ginv:=根(numer(G-x),t);系列(eval(F,t=Ginv),x=0,20);

(系数((1+x+x^2+x^3)^(2*n),x,3*n),n=0..50)#罗伯特·以色列2015年11月1日

数学

表[Sum[(-1)^k*二项式[2*n,k]*二项式[5*n-4*k-1,3*n-4*k],{k,0,3*n/4}],{n,0,25}](*阿迪·达尼2011年7月3日*)

循环表[{128*(n-1)*(2*n-3)*(2*n-1)*(5*n-1)*a[n-2]-8*(2*n-1)*(145*n^3-319*n^2+201*n-30)*a[n-1]+3*n*(3*n-2)*(3*n-1)*(5*n-6)*a[n]==0,

a[0]==1,a[1]==4},a,{n,0,5000}](*布拉德利·克莱2018年6月25日*)

a[n_x]:=a[n]=总和[(2*n)!/(j-n)!*(3*n+i-2*j)!*(j-2*i)!*我!),{i,0,n},{j,n,2*n}];表[a[n],{n,0,20}](*扎格罗斯·拉洛2018年9月25日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)={local(v=Vec((1+x+x^2+x^3)^n));和(k=1,#v,v[k]^2);}

(PARI)a(n)=和(k=0,3*n/4,(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(5*n-4*k-1,3*n-4*k));

(PARI)向量(30,n,n--;polcoeff((1+x+x^2+x^3)^(2*n),(6*n)>>1)\\阿尔图阿尔坎2015年11月1日

(GAP)列表([0..20],n->Sum([0..Int(3*n/4)],k->(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(5*n-4*k-1,3*n-4*k)))#阿西鲁2018年9月26日

(岩浆)[(&+[-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(5*n-4*k-1,3*n-4*k):k in[0..Floor(3*n/4)]):n in[0..30]]//G、 C.格雷贝尔2018年10月6日

交叉引用

囊性纤维变性。A005190型,A008287号.

囊性纤维变性。A008287号.

上下文顺序:A223053型 A222288 A053315*A103870号 A056063号 A218224年

相邻序列:A005718号 A005719号 A005720号*A005722号 A005723号 A005724号

关键字

,容易的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月10日03:08。包含336367个序列。(运行在oeis4上。)