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A005721号 中心二次多项式系数。
(原名M3681)
11

%I M3681#106 2023年10月28日11:42:51

%S 1,4,445808092116304170362528812037906102057249544,

%电话:86981744944132797781107620356299454276313095240079600,

%电话:482957130948878760746833983258040801157402982351003420179711857948859248

%N中心二次多项式系数。

%C四次多项式系数三角形第n行中条目的平方和A008287(4阶Pascal三角形)。-_Adi Dani_,2011年7月3日

%C三角形A008287中的中心系数((1+x+x^2+x^3)^n),见链接_Zagros Lalo_,2018年9月25日

%D L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第78页。

%D Shara Lalo和Zagros Lalo,《多项式展开定理和数字三角形》,Zana出版社,2018年,ISBN:978-1-9995914-0-3,第601、602页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

%H Robert Israel,n表,n=0..597的a(n)

%H Hacène Belbachir和Yassine Otmani,<a href=“http://math.colgate.edu/~integers/x27/x27.pdf“>Wolstenholme、Morley和Glaisher同余的四次型版本,integers(2023)第23卷。

%H Adi Dani,<a href=“https://oeis.org/wiki/用户:Adi_Dani_/Restricted_compositions_of_natural_numbers“>自然数的限制合成部分:广义Pascal三角形</a>

%H R.K.Guy,编辑,《西方数论问题,1985-12-21和23》,打字,1986年7月13日,数学系。和Stat.,卡尔加里大学,11页。经允许对第1、3、7、9页进行带注释的扫描。参见问题85:02。

%H R.K.Guy,致N.J.a.Sloane的信,1987年</a>

%H Zagros Lalo,三角形A008287的中心系数公式((1+x+x^2+x^3)^n)</a>

%F a(n)=A005190(2*n)=AO08287(2*n,3*n)。

%F G.F.:设Z(x)是(-1+16*x)*(32*x-27)^2*Z^6+9*(-9+64*x。在x=0处计算Z(x)的Puiseux级数,然后在C[[x^(1/3)]]中计算Z(x)。删除x的所有非整数幂。结果是A005721的生成函数_Mark van Hoeij_,2011年10月29日

%F G.F.:F(G^(-1)(x)),其中F(t)=(t^2-1)*(6*t+t^2+1)^(1/2)/(3*t^3+13*t^2+t-1)和G(t)=t/((t+1)^2*(6*t+t*2+1))_Mark van Hoeij,2011年10月30日

%F From _Bradley Klee_,2018年6月25日:(开始)

%F 128*(n-1)*(2*n-3)*(2*n-1)x(5*n-1。

%F G.F.G(x)满足Picard-Fuchs型微分方程,0=Sum_{m=0..5,n=0..3}m_{m,n}x^m*(d^n/dx^n G(x

%F M={{24,-6,0,0},

%传真{-7681488,-54,0},

%传真{6144,-16128,2520,-27},

%传真{055296,-29568,896},

%传真{0,0,49152,-7936},

%F{0,0,08192}}(结束)

%F a(n)=sum_{k=0..floor(3n/4)}(-1)^k二项(2n,k)*二项(5n-4k-1,3n-4k).-_Muniru A Asiru_,2018年9月26日

%F a(n)=和{i=0..n}和{j=n..2n}(F);f=((2*n)/((j-n)*(3*n+i-2*j)*(j-2*i)*i!);对于(3*n+i-2*j)<0或(j-2*i)<0,f=0。另请参阅链接部分中的公式_Zagros Lalo_,2018年9月27日

%p F:=(t^2-1)*(6*t+t^2+1)^(1/2)/(3*t^3+13*t^2+t-1);G:=t/((t+1)^2*(6*t+t^2+1));

%p Ginv:=根(数字(G-x),t);系列(eval(F,t=Ginv),x=0.20);

%p seq(系数((1+x+x^2+x^3)^(2*n),x,3*n),n=0..50);#_罗伯特·伊斯雷尔(Robert Israel),2015年11月1日

%t表[总和[(-1)^k*二项[2*n,k]*二项[5*n-4*k-1,3*n-4xk],{k,0,3*n/4}],{n,0,25}](*_Adi Dani_,2011年7月3日*)

%t循环表[{128*(n-1)*(2*n-3)*(2*n-1)x(5*n-1,

%ta[0]==1,a[1]==4},a,{n,05000}](*_Bradley Klee_,2018年6月25日*)

%ta[n]:=a[n]=和[(2*n)!/(j-n)!*(3*n+i-2*j)!x(j-2*i)!*i!),{i,0,n},{j,n,2*n}];表[a[n],{n,0,20}](*Zagros Lalo_,2018年9月25日*)

%o(PARI)a(n)={局部(v=Vec((1+x+x^2+x^3)^n));总和(k=1,#v,v[k]^2);}

%o(PARI)a(n)=总和(k=0,3*n/4,(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(5*n-4*k-1,3*n-4*k));

%o(PARI)矢量(30,n,n-;波尔科夫((1+x+x^2+x^3)^(2*n),(6*n)>>1))

%o(GAP)列表([0..20],n->总和([0..Int(3*n/4)],k->(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项法(5*n-4*k-1,3*n-4*k));#_Muniru A Asiru,2018年9月26日

%o(岩浆)[(&+[(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项法(5*n-4*k-1,3*n-4*k):k in[0..Floor(3*n/4)]]):n in[0..30]];//_G.C.Greubel,2018年10月6日

%Y参见A002426、A005190、A008287。

%K nonn,简单

%0、2

%A·N·J·A·斯隆_

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