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| A005522号 |
| a（n）=1+L（n）+F（2*n-1）与{L（n(A000032号)和F（2*n-1）_{n>=0}二分斐波那契数(A001519号).
（原名M2537）
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三
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4, 3, 6, 10, 21, 46, 108, 263, 658, 1674, 4305, 11146, 28980, 75547, 197262, 515594, 1348477, 3528150, 9233244, 24167167, 63261114, 165604618, 433534041, 1134967250, 2971318756, 7778909811, 20365282518, 53316730378, 139584573093, 365436446014, 956723886540
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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名称字段已更改。以前的“名称”字段条目为：
a（n）=斐波那契（2n）*（1+Fibonacci（n-1））/斐波那奇（n）表示n偶数；a（n）=2+斐波那契（2n）*（1+斐波纳契（n-1））/斐波那奇（n）表示n奇数。
名称字段中的新条目基于链接部分引用的Grieg论文的方程式（1）。此公式比此序列的“名称”和“公式”字段中给出的先前公式更简单。我们提出6点意见：
（注释I）Name部分中的前一个公式与a（0）=4一致，因为0是Name部分中前一个表达式的可移除奇点。为了看到这一点，我们使用连续的Binet形式，F（x）=（alpha^x-beta^x）/sqrt（5），alpha=（sqrt（5+1）/2，beta=1-alpha。因此，对于所有非零x，F（2x）/F（x）=（α^（2x）-β^（2x））/（α^x-β^x）=α^x+β^x。紧接着，lim_{x->0}F（2x）/F（x）=α^0+β^0=2。因此，根据需要，lim_{x->0}斐波那契（2x）*（1+Fibonacci（x-1））/Fibonacci（x）=2（1+斐波那奇（-1））=4。
（评论二）正如Grieg论文参考文献[2,3]所指出的，a（n）=F（2n）C（n），其中C（n(A000045号). 换句话说，a（n）=C（n）F。
（评论三）格里格论文中优雅的公式被忽视的可能原因是，格里格论文由于其非标准符号和术语而难以阅读。例如，广义斐波那契数和卢卡斯数是用带下标的P表示的，而不是用F表示的。类似地，格里格将奇诱导斐波那奇数序列称为“二分”斐波纳契数(A001519号)这一术语在现代关于斐波那契数的书籍中很少出现。
（注释四）a（n）的定义递归最好使用湮没算子以因子形式给出（Grieg论文中的方程（12））。设E为平移算子，使E（f）（n）=f（n+1）。例如，（E^2-E-1）（L（n））=L（n+2）-L（n+1）-L(A000032号). 因此算符E^2-E-1湮灭了Lucas序列。类似地，（E^2-3E+1）消除了被平分的斐波那契数(A001519号)和（E-1）消除常数序列(A000012号). 由此可见，这些湮灭子的乘积湮灭了序列的和，即a（n）。因此定义递归可以通过展开（E-1）（E^2-3E+1）（E*2-E-1）获得。由此可知，序列a（n）满足a（n）-5a（n-1）+7a（n-2）-a（n-3）-3a（n-4）+a（n-5）=0。例如，1*108-5*46+7*21-1*10-3*6+1*3=0。注意，这种基于零化子的递归推导比Grieg论文中基于中心差分算子的推导更简单。
（注释五）使用标准技术，我们可以从定义的5阶递归中获得a（n）的g.f。由于a（n）=1+F（2n-1）+L（n），因此a（n”）的g.F.是三个和1、F（2n-1）、L（n。常数序列1的g.f.为C（x）=1/（1-x）(A000012号); 卢卡斯序列的g.f.为L（x）=（2-x）/（1-x-x^2）(A000032号); 对分斐波那契数f（2n-1）的g.f.是B（x）=（1-2x）/（1-3x+x^2）（序列A001519号). 因此，a（n）的g.f.是这些g.f.s的总和：C（x）+L（x）+B（x）=1/（1-x）+（1-2x）/（1-3x+x^2）+（2-x）/。这是有理函数的部分分式分解，即a（n）的等价g.f.，a（x）=（4-17x+19x^2-3x^3-2x^4）/（1-5x+7x^2-x^3-3x^4+x^5）。
（评论六）我们现在可以评论由西蒙·普劳夫并在下面的MAPLE部分中提到。将P（x）展开为一个级数，我们得到了a（n）的以下g.f.：3+6x+10x^2+21x^3。事实上，很容易检查P（x）=1/x（A（x）-4）。这解决了Plouffe猜想：（i）A（x）是A（n）{n>=0}的有理函数g.f.，（ii）P。（结束）
设φ=（1+sqrt（5））/2，p（n）=φ^n-（-phi）^（-n），FL（n）=1+（p（n-1）+p（n+1）+p。FL是具有FL（n）的双无限序列=A005522号（n） 和FL（-n）=A006172号（n） 对于n>=0-彼得·卢什尼2015年3月9日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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W.E.Greig，斐波那契倒数的和《斐波纳契季刊》，第15卷，第1期（1977年），第46-48页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，《魁北克大学论文》，1992年，arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=（（平方码（5）+5）/10）*（（3+平方码（五）/2）^（n-1））+（5-sqrt（五））/10-蒂姆·莫纳汉2011年7月23日
a（n）=5*a（n-1）-7*a（n-2）+a（n-3）+3*a（n4）-a（n-5）-罗素·杰·亨德尔2015年3月2日
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MAPLE公司
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A005522号：=-（-3+9*z-z**2-10*z**3+4*z**4）/（z-1）/（z**2-3*z+1）/（z**2+z-1）；#推测者西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
FL:=proc（n）局部a，p；a:=（1+sqrt（5））/2；p:=m->a^m-（-a）^（-m）；
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数学
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表[1+Fibonacci[2n-1]+LucasL[n]），{n，0，30}](*罗素·杰·亨德尔，2015年3月2日*）（*修改人G.C.格鲁贝尔2018年1月1日*）
序列[1/（1-x）+（2-x）/（1-x-x^2）+（1-2*x）/(*罗素·杰·亨德尔，2015年3月2日*）
线性递归[{5，-7，1，3，-1}，{4，3，6，10，21}，31](*罗素·杰·亨德尔2015年3月2日*）
系数列表[级数[（4-17x+19x^2-3x^3-2x^4）/（1-5x+7x^2-x^3-3x^4+x^5），{x，0，30}]，x](*罗素·杰·亨德尔2015年3月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
\聚苯乙烯{31}；
C（x）=1/（1-x）；
L（x）=（2-x）/（1-x-x^2）；
B（x）=（1-2*x）/（1-3*x+x^2）；
A（x）=C（x）+L（x）+B（x）；
序号（A（x），x）
Vec（序列号（A（x），x））
（Magma）[1+Lucas（n）+Fibonacci（2*n-1）：n在[0.30]]中//文森佐·利班迪2015年3月8日
（PARI）{卢卡斯（n）=斐波那契（n+1）+斐波那奇（n-1）}；
对于（n=0，30，print1（1+fibonacci（2*n-1）+lucas（n），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2018年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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